Existenz des Grenzwertes

15.06.2015, 19:14

AliceD

Existenz des Grenzwertes

Hy,

ich soll überprüfen, ob der Grenzwert für folgende Funktion existiert und ggf. den Wert angeben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

Nun muss ich ja eigentlich den Term so umformen, dass im Nenner nicht mehr 0 erscheinen kann wenn x gegen 1 strebt.
Ich habe jetzt schon mehrere Umformungen versucht, bin damit aber nie dahin gekommen, dass die 0 dann aus dem Nenner verschwindet und nun denke ich einfach, der Grenzwert existiert nicht.
Kann das jemand bestätigen oder widerlegen?

15.06.2015, 19:30

magic_hero

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RE: Existenz des Grenzwertes

Zitat:

Original von AliceD
Kann das jemand bestätigen oder widerlegen?

Das stimmt. Das von dir beschriebene Verfahren funktioniert auch nur, wenn sowohl Nenner als auch Zähler eine Nullstelle in der Stelle, gegen die man das x laufen lässt, haben. Hier hat aber nur der Nenner eine Nullstelle in 1.

15.06.2015, 19:37

AliceD

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RE: Existenz des Grenzwertes
Ok super, dass diese Vorgehensweise nur dann funktioniert wusste ich noch nicht.
Danke für den Hinweis =)

15.06.2015, 19:38

Widderchen

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Hallo,

dieser Ausdruck divergiert, da 1 keine hebbare Definitionslücke ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 1}{x-1} = \pm \infty \end{eqnarray*}$ , je nachdem ob du den rechtsseitigen oder linksseitigen Limes betrachtest.

Viele Grüße
Widderchen

15.06.2015, 19:40

AliceD

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RE: Existenz des Grenzwertes
Obwohl, eigentlich ist das einleuchtend.
Dann muss der Zähler ja sozusagen auch immer die Nullstelle für x0=a haben + irgendwelche "Rest-Terme", dann kürzt sich die Nullstelle quasi raus.
Ist das richtig gedacht?

15.06.2015, 19:42

Widderchen

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Ja, das ist auch das, was man unter hebbarer Singularität versteht. smile

Widderchen

15.06.2015, 19:43

AliceD

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Ok, dass hab ich so noch nicht gehört, vielleicht kommt das noch =).
Danke

15.06.2015, 19:44

magic_hero

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RE: Existenz des Grenzwertes

Zitat:

Original von AliceD
Ist das richtig gedacht?

Das kann man so sagen - wobei du das "+" bei "+ irgendwelche 'Rest-Terme'" hoffentlich nicht mathematisch meinst Augenzwinkern

15.06.2015, 19:48

AliceD

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Dazu doch noch eine Frage:
Wenn der GW existiert, dann müssen rechtsseitiger und linksseitiger GW ja übereinstimmen.
Da sie eben nicht gleich sind, existiert er folglich nicht.
Aber wie berechnet man denn konkret den links bzw rechtsseitigen GW?
Anschaulich verstehe ich, dass von links die x-Werte immer kleiner sind als 1 und von rechts immer größer

15.06.2015, 19:55

Widderchen

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Du kannst ja mal probeweise x Werte grösser bzw. Kleiner als 1 in den Ausdruck einsetzen und dann mal nachsehen, was mit dem Vorzeichen des Ausdrucks geschieht.

Widderchen

15.06.2015, 20:01

magic_hero

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Zitat:

Original von AliceD
Da sie eben nicht gleich sind, existiert er folglich nicht.

'Nicht gleich' ist in diesem Fall vielleicht etwas unglücklich formuliert, denn weder der links- noch der rechtsseitige Grenzwert existieren (sie sind ja beide nicht endlich).

Zitat:

Original von AliceD
Aber wie berechnet man denn konkret den links bzw rechtsseitigen GW?

Ich verstehe jetzt nicht ganz, was du konkret wissen willst, aber ich versuche es mal: Beim linksseitigen Grenzwert näherst du dich der kritischen Stelle nur von links an, beim rechtsseitigen nur von rechts.
Wenn man das mathematisch präzise formulieren möchte, würde ich das (wie beim Grenzwert selbst auch) über Folgen machen, z.B. für den linksseitigen GW einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} x_n < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ . Dann ist der linksseitige Grenzwert definiert als $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to 1-} f(x):=\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) \end{eqnarray*}$ .

15.06.2015, 20:03

AliceD

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Also beispielsweise für x Werte die immer größer als 1 sind wir der Nenner sehr klein, und damit der gesamte Ausdruck sehr groß würde ich behaupten.
Kann man das aber dann einfach so hinschreiben? Ohne konkrete "Rechnung" oder ähnliches.
Dann wäre der rechtsseitige GW ja "plus unendlich" und der linksseitige "minus unendlich"

15.06.2015, 20:12

magic_hero

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Zitat:

Original von AliceD
Kann man das aber dann einfach so hinschreiben? Ohne konkrete "Rechnung" oder ähnliches.

"Man" kann bzw. werden das die meisten auf Dauer so machen. Wenn du zeigen willst, dass etwas gegen unendlich "konvergiert", dann müsstest du formal zeigen, dass der Ausdruck für x, die sich der 1 von rechts immer mehr nähern, nach oben nicht beschränkt ist. Das wäre dann mathematisch "wasserdicht". So was macht man aber normalerweise einmal und dann kann man es auch "einfach so" hinschreiben (man muss natürlich schon genau aufpassen in schwierigeren Fällen, bevor man das tut!).

Zitat:

Original von AliceD
Dann wäre der rechtsseitige GW ja "plus unendlich" und der linksseitige "minus unendlich"

Korrekt.

/EDIT: Formulierung leicht verändert.

15.06.2015, 20:15

AliceD

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Ja mit der Beschränktheit ist wohl war, dumm dass ich nicht selbst drüber nachgedacht habe.
Vielen Dank! smile

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