Integration auf Normalbereich (Polarkoordinaten)

15.06.2015, 19:37	erebosm	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration auf Normalbereich (Polarkoordinaten) Meine Frage: Guten Abend Ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme... Sei die Kurve w in Polarkoordinaten gegeben durch die Gleichung r = cos(2v) mit v=[0, 2pi]. Die unterstehende Figur zeigt w in einem kartesischen Koordinatensystem. Berechnen Sie die eingeschlossene Fläche. [attach]38413[/attach] Meine Ideen: Mein Problem ist jetzt, wie ich bei dem Ganzen anfange, bzw wie ich die Grenzen des Doppelintegrals setze? Vielen Dank für eure Hilfe! Gruss
16.06.2015, 02:34	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration auf Normalbereich (Polarkoordinaten) Probiere die Leibnizsche Sektorformel.
16.06.2015, 10:07	erebosm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration auf Normalbereich (Polarkoordinaten) Das hilft mir leider nicht weiter. Kannst du mir wenigstens einen Ansatz geben und nicht noch mehr Fragen aufwerfen?
16.06.2015, 12:12	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Informiere dich mal mal unter dem Stichwort "Sektorformel von Leipniz" unter WIKIPEDIA: ---------------------------------------------------------------------------------- S e k t o r f o r m e l: (S k i z z e - s i e h e - W I K i P E D I A) Wenn man eine ebene Kurve $\begin{eqnarray} [x(t);y(t)] \end{eqnarray}$ mit einem Parameter t gegeben hat, dann ist der Flächeninhalt des "Tortenstückes" mit den 3 Eckpunkten $\begin{eqnarray} [0;0] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} [x(t_1);y(t_1)] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} [x(t_2);y(t_2)] \end{eqnarray}$ das folgende Integral (=Sektorformel) $\begin{eqnarray} A=\tfrac{1}{2} \int_{t_1}^{t_2}x(t)\tfrac{y(t)}{dt}-y(t)\tfrac{dx(t)}{dt}\,dt \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------------------------------------------- Wähle in deinem Falle als Parameter den Winkel $\begin{eqnarray} t=\phi \end{eqnarray}$ . In ebenen Polarkoordinaten hat man $\begin{eqnarray} x(\phi)=r(\phi)\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(\phi)=r(\phi)\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ Setze dort deine spezielle Kurve $\begin{eqnarray} r(t)=\cos(2\phi) \end{eqnarray}$ ein, also $\begin{eqnarray} x(t)=\cos(2\phi)\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(t)=\cos(2\phi)\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ Setze dies in die obige Sektorformel ein und berechne die im Integranden geforderten Ableitungen. Wenn man die Integrationsgrenzen $\begin{eqnarray} [\phi_1; \phi_2]=[45°;0] \end{eqnarray}$ wählt, so hat man von deiner "Kleeblattkurve" genau die halbe Fläche eines der 4 Kleeblätter berechnet. Um die gesamte Fläche aller 4 Kleeblätter zu erhalten, musst du also das Integral mit dem Faktor 8 multiplizieren.
16.06.2015, 15:10	erebosm	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort! Ich werde das gleich mal durchrechnen. In der Zwischenzeit aber folgende Frage noch: Wie berechnet man das mithilfe eines Doppelintegrals, denn die Sektorformel hatten wir nie, wir haben diese Aufgaben immer mit Integration auf Normalbereich gelöst...? Gruss
16.06.2015, 16:47	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Randkurve sei durch $\begin{eqnarray} r=f(\phi)\ge0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi\in[\alpha,\beta] \end{eqnarray}$ gegeben. Die Punkte der Flaeche sind dann durch $\begin{eqnarray} \alpha\le\phi\le\beta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0\le r\le f(\phi) \end{eqnarray}$ bestimmt. Da kannst Du sicher in $\begin{eqnarray} A=\int\!\!\!\int r\,dr\,d\phi \end{eqnarray}$ die passenden Grenzen angeben. Als Ergebnis kommt $\begin{eqnarray} A={1\over2}\int_\alpha^\beta f(\phi)^2\,d\phi \end{eqnarray}$ raus. Damit hast Du das, was bei Wikipedia als alternative Formel genannt ist, selber hergeleitet.
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