Integral berechnen

16.06.2015, 09:24

Cl3audia

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Integral berechnen

Meine Frage:
Guten Morgen,

ich quäle mich mit dem Integral und weiß nicht recht wie ich es lösen soll:

Berechnen Sie die durch

$\begin{eqnarray*} F(x) := \int_4^x \frac{t^2 + \sqrt{t^2-4} + 1}{(1-t^2)\cdot \sqrt{t^2-4}} dt \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (x \in I := (2|\infty)) \end{eqnarray*}$

definierte Abbildung $\begin{eqnarray*} F : I \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und bestimmen Sie in den Punkten in denen Differenzierbarkeit vorliegt die Ableitung, sowie im Falle der Konvergenz

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 2} F(x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} F(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also mein erster Gedanke war Partialbruchzerlegung zu machen denn für

$\begin{eqnarray*} t = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t = -2 \end{eqnarray*}$ sowie für $\begin{eqnarray*} t = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t = -1 \end{eqnarray*}$ wird der Nenner ja Null, das bedeutet ich könnte doch in der Tat die Faktorisierung vornehmen

$\begin{eqnarray*} (1-t^2)\cdot \sqrt{t^2-4} = (1-t) \cdot (1+t) \cdot (t-2)^{\frac 12} \cdot (t+2)^{\frac 12} \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen? Das wäre die eine Seite der Medaille. Die andere ist, wo Differenzierbarkeit vorliegt, das ist doch überall dort, ausgenommen den Definitionslücken bzw. Polstellen des Nenners? Das könnte ich dann einfach mit der Quotientenregel dann tun? Oder muss ich da noch was berücksichtigen?

Für Tipps, Anregungen, Verbesserungen anderwaltige Ideen bin ich offen und sehr dankbar,

Claudia

16.06.2015, 09:46

klarsoweit

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RE: Integral berechnen
Lästig sind die Wurzeln im Integral. Ich könnte als Idee die Substitution $\begin{eqnarray*} t = u + \frac 1 u \end{eqnarray*}$ anbieten.

Bezüglich der Differenzierbarkeit von F(x) hilft der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

16.06.2015, 10:31

Cl3audia

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RE: Integral berechnen
Substitution ist immer eine Option, nur diese zu finden unglücklich

unglücklich

Danke! Ist denn meine Idee mit der Partialbruchzerlegung schlecht?

Claudia

16.06.2015, 10:39

klarsoweit

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RE: Integral berechnen
Partialbruchzerlegung funktioniert da, wo du Polynome hast. Also mußt du zusehen, daß die Wurzelausdrücke verschwinden. Die genannte Substitution sollte dazu helfen.

Ggf. würde ich vorher noch umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^2 + \sqrt{t^2-4} + 1}{(1-t^2)\cdot \sqrt{t^2-4}} = \frac{t^2 + 1}{(1-t^2)\cdot \sqrt{t^2-4}} + \frac{1}{(1-t^2)} \end{eqnarray*}$

17.06.2015, 13:19

Cl3audia

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RE: Integral berechnen
Okay ich schreite mal zur Tat:

$\begin{eqnarray*} t = u + \frac 1 u \end{eqnarray*}$ substituieren.
$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{du} = 1 - \frac{1}{u^2} \Leftrightarrow dt = (1 - \frac{1}{u^2}) du \end{eqnarray*}$

Die Grenzen werden dann für
$\begin{eqnarray*} t (u) = u + \frac 1 u \end{eqnarray*}$

zu: $\begin{eqnarray*} t (u) = 4 + \frac 1 4 = 4,25 := u_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t (u) = x + \frac 1 x := u_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) := \int_4^x \frac{t^2 + \sqrt{t^2-4} + 1}{(1-t^2)\cdot \sqrt{t^2-4}} dt = \int_{u_1}^{u_2} \left(\frac{(u + \frac 1 u)^2 + \sqrt{(u + \frac 1 u)^2 - 4} + 1}{(1-(u + \frac 1 u)^2) \cdot \sqrt{(u + \frac 1 u)^2 - 4}} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) du \end{eqnarray*}$

Ich dummi hätte den Tipp mit dem Kürzen vorher wahrnehmen sollen...^^ traurig

traurig

Wenn ich kürze habe ich ja:

$\begin{eqnarray*} \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{(u + \frac 1 u)^2+1}{(1-(u + \frac 1 u)^2) \cdot \sqrt{(u + \frac 1 u)^2 - 4}} + \frac{1}{1-(u + \frac 1 u)^2} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) d \end{eqnarray*}$

Auf den ersten Blick sehe ich nicht viel Spielraum unglücklich

unglücklich

Es sei denn ich habe mich verzettelt?

Bezüglich der anderen Teilaufgabe. Der HS. der Differential- und Integralrechnung verknüpft ja die Integration und die Differentiation. Was genau soll ich mir davon zu Nutze machen? Wenn ich integriere habe ich eine Stammfunktion. Wenn ich diese ableite muss sie zwingend die Ausgangsfunktion ergeben.

Wie jedoch schaffe ich den Punkten in denen Differenzierbarkeit vorliegt die Ableitung zu bestimmen, sowie im Falle der Konvergenz, diese?

Claudia

17.06.2015, 13:39

klarsoweit

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RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von Cl3audia
Wenn ich kürze habe ich ja:

$\begin{eqnarray*} \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{(u + \frac 1 u)^2+1}{(1-(u + \frac 1 u)^2) \cdot \sqrt{(u + \frac 1 u)^2 - 4}} + \frac{1}{1-(u + \frac 1 u)^2} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) d \end{eqnarray*}$

Wenn du kürzt, mußt du noch vor der Substitution das Integral in 2 Integrale aufspalten, denn bei dem 2. Summanden gibt es eine schöne Partialbruchzerlegung.
Im 1. Summanden kannst du nun als erstes den Wurzelterm behandeln. smile

smile

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17.06.2015, 14:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Also mußt du zusehen, daß die Wurzelausdrücke verschwinden. Die genannte Substitution sollte dazu helfen.

Das hätte eigentlich genug Motivation sein sollen, den Term $\begin{align*} \sqrt{\left(u + \frac{1}{u}\right)^2-4} \end{align*}$ hinsichtlich Vereinfachung genauer unter die Lupe zu nehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2015, 14:34

Cl3audia

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Also ehrlich gesagt das erste Integral ist problematisch, bei dem zweiten sehe keine PBZ da ich noch die 1 habe im
Nenner unglücklich

unglücklich

$\begin{align*} \sqrt{\left(u + \frac{1}{u}\right)^2-4}= ]\sqrt{\left(u + \frac{1}{u}\right)^2-2^2}= \end{align*}$

Mir fehlt da noch die Umsetzung dies in eine binomische Formel umzuwandeln um dann die Wurzel zu kürzen. Das ist doch die Idee?

Claudia

17.06.2015, 15:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cl3audia
$\begin{align*} \sqrt{\left(u + \frac{1}{u}\right)^2-4} \end{align*}$

Löse die Klammer unter der Wurzel auf und fasse zuasmmen. Du wirst dann wieder eine binomische Formel finden.

Zitat:

Original von Cl3audia
bei dem zweiten sehe keine PBZ da ich noch die 1 habe im

Du mußt auch erstmal den Nenner faktorisieren (3. binomische Formel). smile

smile

17.06.2015, 15:24

Cl3audia

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Dann habe ich doch unter der Wurzel stehen
$\begin{align*} u^2 + \frac{1}{u^2} -2 \end{align*}$

Und da stehe ich wieder unglücklich

unglücklich

Claudia

17.06.2015, 15:59

klarsoweit

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Wie gesagt, binomische Formel: $\begin{align*} u^2 + \frac{1}{u^2} -2 = (u - \frac 1 u)^2 \end{align*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2015, 19:43

Cl3audia

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Tja

Big Laugh

Blinde Kuh hat wieder zugeschlagen, ich meine ich hab's gerechnet und realisiere es nicht^^

$\begin{eqnarray*} \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{(u + \frac 1 u)^2+1}{(1-(u + \frac 1 u)^2) \cdot \sqrt{(u + \frac 1 u)^2 - 4}} + \frac{1}{1-(u + \frac 1 u)^2} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) du = \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{(u + \frac 1 u)^2+1}{(1-(u + \frac 1 u)^2) \cdot (u - \frac 1 u)} + \frac{1}{1-(u + \frac 1 u)^2} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) du \end{eqnarray*}$

Faktorisieren, mhm. Wenn ich's nur sehen würde :Hammer: Ich multipliziere es mal aus:

$\begin{eqnarray*} ... = \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{u^2 + \frac{1}{u^2} -2+1}{(1-(u^2 + \frac{1}{u^2} -2) \cdot (u - \frac 1 u)} + \frac{1}{1-(u + \frac 1 u)^2} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) du \end{eqnarray*}$

Bei dem ersten Integral hätte ich ja:
$\begin{eqnarray*} ... = \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{u^2 + \frac{1}{u^2} -2+1}{(u - \frac 1 u)-(u^2 + \frac{1}{u^2} -2) \cdot (u - \frac 1 u)} + \frac{1}{1-(u + \frac 1 u)^2} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) du \end{eqnarray*}$

Hm irgendwie stelle ich mich ziemlich miserabel an.

Aber Momentchen man kann doch im Nenner des ersten Integral

$\begin{eqnarray*} ... = \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{(u - \frac 1 u)^2+1}{(u - \frac 1 u)- (u - \frac 1 u)^2} + \frac{1}{1-(u + \frac 1 u)^2} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) du \end{eqnarray*}$

Dann kann man es doch noch aufteilen, aber ich weiß nicht ob das zielführend ist, da wir ja Partialbruchzerlegung anwenden wollten, daher stoppe ich mal.

Claudia

18.06.2015, 09:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cl3audia
Faktorisieren, mhm. Wenn ich's nur sehen würde :Hammer: Ich multipliziere es mal aus:

$\begin{eqnarray*} ... = \int_{u_1}^{u_2} \left( \frac{u^2 + \frac{1}{u^2} -2+1}{(1-(u^2 + \frac{1}{u^2} -2) \cdot (u - \frac 1 u)} + \frac{1}{1-(u + \frac 1 u)^2} \right) \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) du \end{eqnarray*}$

Wie rechnest du eigentlich $\begin{eqnarray*} (u + \frac 1 u)^2 \end{eqnarray*}$ aus?

Außerdem tut es mir leid, den Vorschlag unterbreitet zu haben, den Integranden in 2 Summanden aufzuteilen. Die Idee dabei war nämlich (das habe ich weiter oben aber auch schon erklärt), den 2. Summanden separat zu integrieren und zwar ohne Substitution, sondern direkt mit Partialbruchzerlegung. Wenn du das nicht machst, also wie geschehen sofort die Substitution durchführst, dann solltest du besser den ursprünglichen Integranden nehmen, denn die Aufteilung in zwei Summanden ist dann nur hinderlich.

18.06.2015, 10:40

Cl3audia

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \frac{t^2 + 1}{(1-t^2)\cdot \sqrt{t^2-4}} + \frac{1}{(1-t^2)} \end{eqnarray*}$

Also den ersten Ausdruck per Substitution lösen? Den zweiten einfach so integrieren ohne zu substituieren?

Wobei ja $\begin{eqnarray*} 1-t^2 = (1-t) \cdot (1+t) \end{eqnarray*}$

Das ist ja jetzt auch nicht direkt integrierbar? Eins geteilt durch etwas ist bei Bildung der Stammfunktion ja der Logarithmus von dem Nenner, doch wir haben ja noch den inneren Term.

Man kann sich es zurechtlegen, aber so genau hergeleitet ist die Integration nicht:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1-t^2} = \frac 12 (\ln (t+1) - \ln (t+1)) \end{eqnarray*}$

Wenn man das ableitet, dann ergibt sich ja die Ausgangsfunktion.

Claudia

18.06.2015, 11:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cl3audia
Also den ersten Ausdruck per Substitution lösen? Den zweiten einfach so integrieren ohne zu substituieren?

Ja.

Zitat:

Original von Cl3audia
Wobei ja $\begin{eqnarray*} 1-t^2 = (1-t) \cdot (1+t) \end{eqnarray*}$

Das ist ja jetzt auch nicht direkt integrierbar?

Wie ich schon sagte, kann man für $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{t^2-1} \end{eqnarray*}$ eine schöne Partialbruchzerlegung machen. smile

smile

18.06.2015, 19:29

Cl3audia

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wie ich schon sagte, kann man für $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{t^2-1} \end{eqnarray*}$ eine schöne Partialbruchzerlegung machen. smile

smile

Stimmt! Sehr angenehme Berechnung smile

smile

Bei

$\begin{eqnarray*} \int_{u_1}^{u_2} \frac{u^2 + \frac{1}{u^2} -2+1}{(1-(u^2 + \frac{1}{u^2} -2) \cdot (u - \frac 1 u)} \cdot(1 - \frac{1}{u^2}) du \end{eqnarray*}$

Komme ich aber nicht voran. Wenn ich $\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{u^2}) \end{eqnarray*}$ ausmultipliziere erhalte ich dann im Zähler:

$\begin{eqnarray*} u^2+\frac{2}{u^2}-\frac{1}{u^4}-2 \end{eqnarray*}$

Im Nenner habe ich dann ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} (u-\frac 1u) - (u^3+\frac 1u -3u-\frac{1}{u^3}+\frac{2}{u^2}) = -u^3-\frac 2u +4u+\frac{1}{u^3}-\frac{2}{u^2} \end{eqnarray*}$

Also langsam verzweifle ich traurig

traurig

Claudia

19.06.2015, 09:17

klarsoweit

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Wir halten erstmal fest, daß $\begin{eqnarray*} (u + \frac 1 u)^2 = u^2 + \frac{1}{u^2} + 2 \end{eqnarray*}$ ist.

Somit kommen wir auf: $\begin{eqnarray*} ... = \int_{u_1}^{u_2} \frac{u^2 + \frac{1}{u^2} +2+1}{(1-(u^2 + \frac{1}{u^2} +2)) \cdot (u - \frac 1 u)} \cdot (1 - \frac{1}{u^2}) ~du = \int_{u_1}^{u_2} \frac{u^2 + \frac{1}{u^2} +3}{(-u^2 - \frac{1}{u^2} -1) \cdot u \cdot (1 - \frac{1}{u^2})} \cdot (1 - \frac{1}{u^2}) ~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{u_1}^{u_2} \frac{u^2 + \frac{1}{u^2} +3}{-u^3 - \frac{1}{u} -u} ~du \end{eqnarray*}$

Jetzt das ganze noch mit u² erweitern und du hast eine gebrochen rationale Funktion. smile

smile

19.06.2015, 17:17

Cl3audia

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Zitat:

Jetzt das ganze noch mit u² erweitern und du hast eine gebrochen rationale Funktion. smile

smile

Nach Erweiterung muss es dann so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \int_{u_1}^{u_2} \frac{u^4 + 1 +3u^2}{-u^5 - u -u^3} ~du \end{eqnarray*}$

Mir fehlt echt Erfahrung und Übung bei solchen Aufgaben. Ich meine ich könnte jetzt den Bruch aufteilen dann könnte ich aber trotzdem nicht wirklich gut integrieren. Wenn ich an PBZ denke, dann kann ich im Nenner ja:

$\begin{eqnarray*} -u (u^4+1+u^2) = -u (u^4+u^2+1) \end{eqnarray*}$

Die Faktorisierung ins Auge nehmen. Sprich Substitution:

$\begin{eqnarray*} u^2 = p \end{eqnarray*}$ Dann bekommt man ja als Lösung für:

$\begin{eqnarray*} p^2+p +1 = 0 \end{eqnarray*}$ komplexe Nullstellen $\begin{eqnarray*} p_{1,2} = -\frac 12 \pm \sqrt{-\frac 34} \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Weg, kann man einen anderen einschlagen, oder habe ich wieder für Kraut und Rüben gesorgt^^?

Claudia

20.06.2015, 12:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cl3audia
Ist das der richtige Weg

Im Prinzip ja, aber mir scheint, mit der PBZ hast du noch keine Freundschaft geschlossen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du komplexe Nullstellen hast, dann kannst du aus $\begin{eqnarray*} u^4+u^2+1 \end{eqnarray*}$ ein quadratisches Polynom abspalten und zwar $\begin{eqnarray*} (u - u_1) \cdot (u - \overline{u_1}) \end{eqnarray*}$ , wobei u_1 eine der komplexen Nullstellen ist.

Mit der folgenden Umformung kann man sich aber auch die Rechnerei sparen:

$\begin{eqnarray*} u^4+u^2+1 = u^4+2u^2+1 - u^2 = (u^2+1)^2 - u^2 = (u^2+u+1) \cdot (u^2-u+1) \end{eqnarray*}$ smile

smile

22.06.2015, 11:27

Cl3audia

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Zitat:

Original von klarsoweit
Im Prinzip ja, aber mir scheint, mit der PBZ hast du noch keine Freundschaft geschlossen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Doch eigentlich schon. Also die Vorgehensweise ist mir da schon klar.

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn du komplexe Nullstellen hast, dann kannst du aus $\begin{eqnarray*} u^4+u^2+1 \end{eqnarray*}$ ein quadratisches Polynom abspalten und zwar $\begin{eqnarray*} (u - u_1) \cdot (u - \overline{u_1}) \end{eqnarray*}$ , wobei u_1 eine der komplexen Nullstellen ist.

Mit der folgenden Umformung kann man sich aber auch die Rechnerei sparen:

$\begin{eqnarray*} u^4+u^2+1 = u^4+2u^2+1 - u^2 = (u^2+1)^2 - u^2 = (u^2+u+1) \cdot (u^2-u+1) \end{eqnarray*}$ smile

smile

Das ist mir viel mehr unklar wie das gelten soll und wie dann die 2 auftaucht in dem mittleren Term, also draufaddieren und abziehen. Aber der letzte Schritt ist mir dann wieder nicht klar.

Claudia

22.06.2015, 11:31

klarsoweit

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3. binomische Formel. Was sonst? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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