Grenzwerte Folge und Reihen

16.06.2015, 10:17

Mrbrown90

Grenzwerte Folge und Reihen

Hi hab wieder mal eine frage

hab folgende Aufgabe und bin mir eigentlich ziemlich sicher das meine Lösung falsch ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{n!+2^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n!} + \frac{2^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

dann wäre ja $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$ =0 und $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n!}=1 \end{eqnarray*}$

und der Grenzwert somit 1?

16.06.2015, 10:44

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste die Folge, die der zweite Bruch bezeichnet, gegen Null gehen.
Solltest du dies nicht auch begründen?

mY+

16.06.2015, 10:45

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das noch näher erläuterst, ist es richtig.
Deine Notation bisher ist aber sicherlich fragwürdig...

16.06.2015, 10:46

Mrbrown90

Auf diesen Beitrag antworten »

Die aufgabenstellung lautet nur das ich den Grenzwert bestimmen soll, wäre dies dann so richtig?

16.06.2015, 10:47

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich diese Aufgabe für dich korrigieren würde, würde ich dir sicherlich Punkte abziehen.

16.06.2015, 10:49

Mrbrown90

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das hab ich mir schon fast gedacht smile

....wie sollte ich es dann genauer machen?

16.06.2015, 10:50

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!}=0 \end{eqnarray*}$

begründest.

16.06.2015, 11:03

Mrbrown90

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich für n "unendlich " einsetze ist ja n! immer größer ist als 2^n,dann geht ja dieser bruch gegen Null oder ?

16.06.2015, 11:06

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt zwar, ist aber dennoch nicht exakt begründet.
Eine Möglichkeit wäre, mittels des Quotientenkriteriums die Konvergenz der zugehörigen Reihe zu zeigen.
Dann ist die Folge eine Nullfolge.

mY+

16.06.2015, 11:50

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn ich für n "unendlich " einsetze ist ja n! immer größer ist als 2^n,dann geht ja dieser bruch gegen Null oder ?

Für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ immer größer als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n}\neq 0 \end{eqnarray*}$

Als einfaches Beispiel, dass diese Argumentation ziemlich ungenau ist.

16.06.2015, 12:41

Matt Eagle

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer trivialen Induktion kannst Du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} 3^n<n!\text{ für alle } n\geq 7. \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du dann einfach abschätzen.

16.06.2015, 14:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Grob, aber effektiv: Für $\begin{align*} n\geq 3 \end{align*}$ ist $\begin{align*} n! = 1\cdot \underbrace{2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-1)}_{(n-2)~\mbox{Faktoren}}\cdot n \geq 2^{n-2}\cdot n \end{align*}$ und damit $\begin{align*} \frac{2^n}{n!} \leq \frac{4}{n} \end{align*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwerte Folge und Reihen

Verwandte Themen