Kongruenz modulo ungerade Zahl

16.06.2015, 16:19	foo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenz modulo ungerade Zahl Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} m\geq 3 \end{eqnarray}$ eine ungerade Zahl. Zeige $\begin{eqnarray} 1^m+2^m+\dots +(m-2)^m+(m-1)^m \equiv 0 \mod m \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ist m eine Primzahl so folgt es aus dem Satz $\begin{eqnarray} a^{\varphi(m)} \equiv a \mod m \end{eqnarray}$ aber wie ist das für nicht prime m?
16.06.2015, 16:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz elementar rangehen: $\begin{align} (m-k)^m \equiv (-k)^m = -k^m\bmod m \end{align}$ nur für letzteres = wird die Ungeradheit benötigt. Und das ganze nun für $\begin{align} k=1,2,\ldots,\frac{m-1}{2} \end{align}$ .
16.06.2015, 16:35	foo	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist nochmal $\begin{eqnarray} (m-k)^m \equiv (-k)^m \end{eqnarray}$
16.06.2015, 16:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{align} a\equiv b\bmod m \end{align}$ folgt $\begin{align} a^n\equiv b^n\bmod m \end{align}$ . Nichts anderes wurde hier für $\begin{align} a=m-k,b=-k,n=m \end{align}$ angewandt - oder brauchst du auch noch eine Erklärung für $\begin{align} m-k\equiv -k\bmod m \end{align}$ .
16.06.2015, 16:47	foo	Auf diesen Beitrag antworten »
ne passt, danke dir
16.06.2015, 17:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Am Beweis sieht man, dass es gar nicht wichtig ist, im Exponenten "dasselbe" $\begin{align} m \end{align}$ zu haben, d.h., es gilt $\begin{align} 1^u + 2^u + \ldots + (m-2)^u + (m-1)^u \equiv 0\bmod m \end{align}$ für beliebige ungerade $\begin{align} m\geq 3 \end{align}$ und ebenfalls ungerade $\begin{align} u\geq 1 \end{align}$ .
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