Wege umparametrisieren

16.06.2015, 22:00	TierraT	Auf diesen Beitrag antworten »
Wege umparametrisieren Gegeben habe ich die zwei Wege: $\begin{eqnarray} \gamma_1 : [0, 1] \to D, \gamma_1(t) := (1, 2t - 1)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma_2 : [1, 2] \to D, \gamma_2(t) := (3 - 2t, 1)^T \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich eine Parametrisierung finden, sodass die beiden im selben Intervall sind. Eine mögliche Lösung wäre $\begin{eqnarray} \gamma_2 = (1-2t, 1)^T \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} t \in [0,1] \end{eqnarray}$ aber wie kommt man darauf?
17.06.2015, 09:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben sind zwei gerade Strecken mit unterschiedlichen Parametern in unterschiedlichen Intervallen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1(t_1) \\ y_1(t_1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2t_1-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t_1 \in [0;1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_2(t_2) \\ y_2(t_2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-2t_2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t_2 \in [1;2] \end{eqnarray}$ Um zu erreichen, dass der Parameter $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ im gleichen Intervall [0;1] liegt wie der Parameter $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ , führe einen neuen Parameter $\begin{eqnarray} \tilde t_2 \end{eqnarray}$ durch folgende lineare Transformation ein $\begin{eqnarray} t_2=m\tilde t_2+n \end{eqnarray}$ Die unbekannten Größen m,n erhält du, indem du nacheinander auf der rechten Seite die geforderten Grenzen [0;1] einsetzt und und auf der linken Seite die alten Grenzen [1;2], also linke Grenze: 1=0m+n rechte Grenze: 2=1m+n Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet m=1 bzw. n=1. Also lautet die obige Parameter-Tranformation $\begin{eqnarray} t_2=1\cdot \tilde t_2+1 \end{eqnarray}$ Damit ersetzt man in der 2.Kurve (Siehe oben) den Parameter $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ und erhält deine richtige Lösung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_2(\tilde t_2) \\ y_2(\tilde t_2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\tilde t_2+1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tilde t_2 \in [0;1] \end{eqnarray}$ Es ist klar, dass diese Parametertransformation an der Form der Kurve nichts ändert (gerade Strecke). Weiterhin ist klar, dass diese Transformation nicht eindeutig ist. Man hätte auch eine quadratische Transformation $\begin{eqnarray} t_2=m\tilde t_2^2+n \end{eqnarray}$ o.a. durchführen können

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