Existenz einer Kugel mit gewissen Eigenschaften

17.06.2015, 11:33

Spinnerd

Existenz einer Kugel mit gewissen Eigenschaften

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich muss für die Uni einen Beweis verfassen und es gibt eigentlich nur noch einen Punkt über den ich stolpere:
Es sei $\begin{eqnarray*} {B_{j}} \end{eqnarray*}$ eine Folge von allen offenen Kugeln mit rationalen Mittelpunkten und Radien, sodass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ beschränkt ist ( $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist überall lokal lipschitz (aber nicht global) also:
$\begin{eqnarray*} lip(f,x)&=&\limsup_{y\rightarrow x}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \end{eqnarray*}$
ist endlich für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ).
Wenn wir uns nun ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hernehmen und eine offene Kugel $\begin{eqnarray*} B(x,r) \end{eqnarray*}$ darumlegen, sodass für alle $\begin{eqnarray*} y\in B(x,r) \end{eqnarray*}$ und irgendein $\begin{eqnarray*} l>0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq l|x-y| \end{eqnarray*}$
Und jetzt soll es laut Autor klar sein, dass es ein $\begin{eqnarray*} j>l \end{eqnarray*}$ gibt mit:
$\begin{eqnarray*} B(x,\frac{r}{2})\subseteq B_j\subseteq B(x,r) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich dachte, dass das eigentlich mit der Dichtheit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ abgehandelt wäre, allerdings meinte mein Prof, das wäre nicht so trivial...
Was könnte also ein passendes Argument sein?
Für diejenigen die genauer wissen wollen worum es geht:
http://www.math.jyu.fi/research/reports/rep100.pdf
Seite 23/24
Proof of Theorem 3.4 (Stepanov)

17.06.2015, 13:04

Guppi12

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Hallo,

das folgt eigentlich wirklich ziemlich direkt mit einem Dichtheitsargument. Wähle zuerst einen rationalen Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , der wenig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ entfernt ist, etwa mit Abstand höchstens $\begin{eqnarray*} \frac{r}{c} \end{eqnarray*}$ . (Was du hier für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ einsetzt, überlegst du dir selbst, je kleiner r/c ist, desto sicherer funktioniert ist). Jetzt wähle einen rationalen Radius $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , der so ist, dass er möglichst groß ist, ohne, dass $\begin{eqnarray*} B(m, q) \end{eqnarray*}$ nicht mehr ganz in $\begin{eqnarray*} B(x,r) \end{eqnarray*}$ liegt. Zeige, dass einerseits $\begin{eqnarray*} B(m,q) \end{eqnarray*}$ eines der $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ ist und andererseits die gewünschte Inklusionenkette erfüllt.

18.06.2015, 10:47

Spinnerd

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Hmm, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ darauf automatisch beschränkt ist, ist auch klar?

Ach so und vielen Dank erstmal für die antwort Big Laugh

18.06.2015, 14:33

Guppi12

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Zitat:

Hmm, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ darauf automatisch beschränkt ist, ist auch klar?

Ja, aber sag du mir, ob es dir auch klar ist, bzw. wieso das so ist.

18.06.2015, 17:01

Spinnerd

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Ist es weil $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B(x,r) \end{eqnarray*}$ ist und da die oben genannte Abschätzung
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq l|x-y| \end{eqnarray*}$
gilt für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?
Das müsste doch Beschränktheit implizieren oder?

18.06.2015, 17:06

Guppi12

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Ja, das impliziert Beschränktheit. Schließlich gilt ja $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq lr \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(y)\in B(f(x), lr) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus diesem Ball.

18.06.2015, 20:00

Spinnerd

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Super, vielen dank !!

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