Integration von Bruch mit e

17.06.2015, 14:30	NadiaShegi	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration von Bruch mit e Meine Frage: Hallo Ich soll folgendes Integral berechnen $\begin{eqnarray} \int \! \frac{e^x}{x^6+x} \, dx \end{eqnarray}$ Nur steh ich total auf dem Schlauch und weiß nicht, wie ich beginnen soll. Freue mich über jede Hilfe! Meine Ideen: Ich dachte vielleicht könnte man das $\begin{eqnarray} x^6+x \end{eqnarray}$ nach oben in den Zähler holen, dann hätte ich da stehen $\begin{eqnarray} \int \! e^x\times (x^6+x)^{-1} \, dx \end{eqnarray}$
17.06.2015, 15:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Für diese Stammfunktion sollte es keinen geschlossenen Ausdruck geben. Ist also mit den üblichen Funktionen nicht hinzuschreiben.
17.06.2015, 16:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht es vielleicht um ein bestimmtes Integral, da wäre u.U. noch was zu machen: Z.B. ist $\begin{align} \int\limits_0^1 \frac{e^x}{x^6+x} ~ \dd x = \infty \end{align}$ leicht zu erkennen, ebenso $\begin{align} \int\limits_1^{\infty} \frac{e^x}{x^6+x} ~ \dd x = \infty \end{align}$ .
17.06.2015, 18:00	NadiaShegi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, also eigentlich soll ich das Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \frac{e^x}{x^6+x} f(x) \, dx \end{eqnarray}$ auf konvergenz bestimmen. Deshalb dachte ich, ich integriere erst mal die Funktion ohne Grenzen. Aber wie sollte ich denn sonst an die Aufgabe rangehen?
17.06.2015, 18:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch simples Abschätzen, d.h. Finden einer divergenten Minorante: Für $\begin{align} 0< x\leq 1 \end{align}$ gilt $\begin{align} x^6+x \leq x+x = 2x \end{align}$ sowie $\begin{align} e^x \geq e^0 = 1 \end{align}$ , mithin also $\begin{align} \frac{e^x}{x^6+x} \geq \frac{1}{2x} \end{align}$ . Tja, und was wissen wir über das Minorantenintegral $\begin{align} \int\limits_0^1 \frac{1}{2x} ~ \dd x \end{align}$ ?
17.06.2015, 19:55	NadiaShegi	Auf diesen Beitrag antworten »
ah cool und wie genau bist du auf $\begin{eqnarray} x^6+x\geq x+x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^x\geq e^0 \end{eqnarray}$ gekommen? Durch schätzen oder hast du etwas bestimmtes eingesetzt? Dann hätte ich ja $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{2x} \, dx =\left[\frac{ln(x)}{2} \right]_{0}^{1} <br /> \end{eqnarray}$ Das ist ja für den unteren Grenzwert unbestimmt, also $\begin{eqnarray} \lim_{c \to 0} \left[\frac{ln(x)}{2} \right]_{c}^{1} \end{eqnarray}$ und durch einsetzen $\begin{eqnarray} \lim_{c \to 0} \left[\frac{ln(1)}{2} - \frac{ln(c)}{2} \right] \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{c \to 0} \left[\frac{ln(1)-ln(c)}{2} \right] \end{eqnarray}$ Stimmt das schonmal?
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17.06.2015, 20:45	NadiaShegi	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich auf das gekommen $\begin{eqnarray} \lim_{c \to 0^+} \left[-\frac{ln(c)}{2} \right] =\left[-\frac{ln(0)}{2} \right] =+\infty \end{eqnarray}$ Also divergent!

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