Integration durch Substitution

17.06.2015, 14:38

ZuvieleBäumeimWald

Integration durch Substitution

Meine Frage:
Ich habe eine Frage zum Thema Integralrechnung (unbestimmte Integrale), ich soll mithilfe der Integration durch Substitution folgendes unbestimmtes Integral lösen. Die Lösung liegt vor der Rechenweg wird gesucht xD

Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \int x^2*(x+1)^{1997}*dx \end{eqnarray*}$

Lösung: $\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)^{2000}}{2000}-\frac{2*(x+1)^{1999}}{1999}+\frac{(x+1)^{1998}}{1998}+c \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zunächst habe ich mir die Funktion angeschaut und würde den Typ wie folgt entschlüsseln:

$\begin{eqnarray*} \int f(x)*g(ax+b)*dx \end{eqnarray*}$ mit:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=u^{1997} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+b=x+1 \end{eqnarray*}$

Leider kann ich weder in einer Integrationstabelle noch sonst irgendwo einen passenden Typ finden wie es sonst bei den Substitutionsaufgaben ist (Bsp. f(x)*f'(x)). Jedoch komme ich auch mit der Partiellen Integration als Ansatz nicht weiter. Hier meine Anstazwege:

Substitution: $\begin{eqnarray*} u=x+1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{1} \end{eqnarray*}$

Einsetzen: $\begin{eqnarray*} \int x^2*(x+1)^{1997}*dx=\int x^2*u^{1997}*du \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt mit der Partiellen Integration weiterrechne komme ich auf eine Lösung die zwar richtige Element enthält aber nicht korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} \int x^2*u^{1997}*du=x^2*\frac{1}{1998} *u^{1998}-\int 2x* \frac{1}{1998}*u^{1998}*du \end{eqnarray*}$

Dieses Integral für ich nun erneut mit der Partiellen Integration lösen:

$\begin{eqnarray*} \int 2x* \frac{1}{1998}*u^{1998}*du=2x*\frac{1}{3994002}*u^{1999}*du \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Integrationsmethode zwei weitere male Anwendet kommt man zu einer Lösung. Ich weiß, dass ich irgendwo einen kapitalen Fehler mache aber weiß zur Zeit nicht wo. Vielleicht ist mein Anstaz auch falsch.Ach bei anderen Aufgaben mit ähnlichen Funktionen komme ich nicht weiter...Beispiel $\begin{eqnarray*} \int (x-2)^{17}*(x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Ich bitte um Hilfe smile

Danke schon mal im Voraus!!!

17.06.2015, 14:55

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von ZuvieleBäumeimWald
Substitution: $\begin{eqnarray*} u=x+1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{1} \end{eqnarray*}$

Einsetzen: $\begin{eqnarray*} \int x^2*(x+1)^{1997}*dx=\int x^2*u^{1997}*du \end{eqnarray*}$

Wenn du substituierst, mußt du schon jedes x in dem Integral ersetzen und nicht halbe Arbeit machen. smile

17.06.2015, 15:14

ZuvieleBäumeimWald

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Genau da liegt ja das Problem, Substitution ist in dem Fall nicht besonders befriedigend weil ich nicht jedes X wegbekomme. Wüsste aber auch nicht wie ich sonst substituieren/vorgehen soll unglücklich

17.06.2015, 15:58

klarsoweit

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Das entstehende (u-1)² bekommt du dann mit zweimaliger partieller Integration weg.

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