Problem beim Integrieren für Differentialgleichung

Neue Frage »

17.06.2015, 16:18	Kigyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem beim Integrieren für Differentialgleichung Hallo, bin auf ein Problem beim Lösen einer Differentialgleichung gestoßen. Diese lautet: $\begin{eqnarray} y'\cos^2(x)=yx \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} y(0)= e \end{eqnarray}$ Bin erstmal so vorgegangen, dass ich die Variablen getrennt habe. Anschließend wollte ich integrieren: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{y} \, dy = \int \! \frac{x}{\cos^2(x) } \, dx \end{eqnarray}$ Den linken Teil kann man ja leicht integrieren und erhält den ln(y), die rechte Seite will mir aber nicht gelingen. Substitution hat mir nicht weitergeholfen und auch "Tricks" wie $\begin{eqnarray} {\cos^2(x)} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 1-\sin^2(x) \end{eqnarray}$ zu ersetzen, hat nichts gebracht. Bin ich ganz auf dem falschen Dampfer, wenn ich Trennung der Variablen versuche? Bin grade dabei, es nach dem Verfahren für lineare DGL 1. Ordnung zu lösen, aber auch das haut nicht so ganz hin. Bin für Tipps dankbar, möchte es selbst gerne hinkriegen. Danke!
17.06.2015, 16:27	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem beim Integrieren für Differentialgleichung Der Weg über Trennung der Variablen ist richtig. Das Integral auf der rechten Seite löst Du durch part. Integration.
17.06.2015, 16:29	Kigyo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem beim Integrieren für Differentialgleichung Hallo, das ging ja schnell, danke! Partielle Integration? Also so: $\begin{eqnarray} \int \! x\frac{1}{\cos^2(x) } \, dx \end{eqnarray*}$ ?
17.06.2015, 16:32	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem beim Integrieren für Differentialgleichung Ja
17.06.2015, 16:50	Kigyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp erstmal. Irgendwie stehe ich jedoch auf dem Schlauch. Wenn ich partiell integriere steht bei mir am Ende da: $\begin{eqnarray} ln(y) = x\tan(x)-ln(\sec(x)) \end{eqnarray*}$ Ziemlicher Käse... Und das habe ich zum großen Teil auch nicht gerechnet, sondern aus Übersichten für Grund- und Stammintegrale zusammengeschustert.
17.06.2015, 16:56	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, für den Minus Ausdruck muß stehen: + $\begin{eqnarray} ln(cos(x)) \end{eqnarray}$ rechne nochmal in Ruhe mittels part. Integration.
Anzeige

17.06.2015, 17:18	Kigyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dankesehr. Hab diesen Fall jetzt in meiner Formelsammlung gefunden und auch nochmal soweit ich konnte nachgerechnet. Habe für die DGL jetzt $\begin{eqnarray} ln(y) = x\tan(x)+ln(\cos(x)) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt y allein stehen haben möchte muss ich ja die E-Fkt. darauf anwenden, richtig? Ergebnis wäre also: $\begin{eqnarray} <br /> y = e^{x\tan(x)+ln\cos(x)}<br /> y = e^{x\tan(x)}e^{ln\cos(x)}<br /> y = e^{x\tan(x)}cos(x) \end{eqnarray}$ Kommt das hin? Wie müsste ich denn dann vorgehen? Sehe die Anfangsbedingung nicht erfüllt..
17.06.2015, 17:28	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast noch die Integrationskonstante vergessen , also +C Die hast Du auf jeder Seite, wird aber zu einer zusammen gefasst und steht meistens auf der rechten Seite der Gleichung (ist aber kein muß) Dann bekommst Du im Ergebnis noch *C dazu und die "Rechnung" geht auf, ansonsten stimmt das so.
17.06.2015, 17:39	Kigyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, na klar, danke dir! Dann steht am Ende da: $\begin{eqnarray} y = e^{x\tan(x)}cos(x)e^{c} \end{eqnarray}$ und damit würde folgen $\begin{eqnarray} c=1 \end{eqnarray*}$ , um die Anfangsbedingung zu erfüllen?
17.06.2015, 17:45	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja , das stimmt .dann kannst Du das Ergebnis noch etwas zusammenfassen. PS: im Übrigen setzt man $\begin{eqnarray} e^{c} =C \end{eqnarray}$ (das wird so gelehrt und steht auch in Büchern so), aber Dein Ergebnis stimmt trotzdem.
17.06.2015, 17:47	Kigyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das habe ich auch schon öfter gesehen (Papula u. A.). Mit der 100% richtigen mathematischen Notation hab ich noch meine Schwierigkeiten. Dann danke ich dir für deine schnelle Hilfe! Es hat zwar etwas gedauert, aber am Ende hats ja geklappt. Dankeschön!

Neue Frage »

Antworten »

Problem beim Integrieren für Differentialgleichung

Verwandte Themen