Transformationssatz - Integral - Fläche

Neue Frage »

marcelinho Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationssatz - Integral - Fläche
Hallo liebes MatheBoard!
Ich bräuchte eure Hilfe bei dieser Aufgabe.

Durch Transformation auf Zylinder Koordinaten
× (0, 2 pi) × -> , (r, phi, z) |-> (x, y, z) = (r cos phi, r sin phi, z) berechne man
I =
wobei M oberhalb der (x, y)-Ebene liegt und von dem Zylinder x² +y² = 4 und dem Paraboloid z = x² +y² berandet wird, d.h.

M = {(x,y,z) :0 < z < x² + y² < 4}.

So nun würde ich den Transformationssatz benutzen und als erstes die Gram'sche Determinante berechnen, die r sein müsste.

So ergibt sich

I = = =


Ist dies soweit korrekt? Ich bin mir bei den Grenzen nicht ganz sicher.
Für r habe ich gedacht 0 und 2, da es der Einheitskreis mit Radius 2 ist. Für z hat man ja z = x² + y² und mit den Zylinderkoordinaten würde sich z = r² ergeben. Für phi bleibt 0 und 2 pi würde ich sagen.

Vielleicht kann da mal jemand drüber schauen und vergleichen bzw. sagen ob das so korrekt ist... verwirrt

Danke!! smile
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Zu integrieren ist über das Volumen, das entsteht, wenn man die Parabel z=x² im Intervall um die z-Achse rotieren lässt. Der Zylinder ist lediglich der "obere Deckel" des Paraboloides. Den Integranden hast du richtig berechnet



Die obere Grenzen des r-Integrals ist gerade der Radius derjenigen kreisförmigen Schnittfläche, die entsteht, wenn man das Paraboloid in der Höhe z parallel zur xy-Ebene durchschneidet.
marcelinho Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, vielen Dank für deine Hilfe!
Leider kann ich mir das Ganze noch nicht wirklich bildlich vorstellen. Ich stelle mir x^2+y^2 = 4 als Kreisfläche mit Radius 2 vor. x^2 + y^2 = z ist dann der Paraboloid. Welche Fläche berechne ich denn dann genau? Sozusagen "unter" dem Zylinder (bzw. x^2+y^2 = 4)? Und r ist dann die Wurzel aus z, da der Radius des Paraboloiden von unten nach oben gesehen zunimmt und nicht konstant ist? verwirrt

Als Ergebnis bekomme ich dann 32/3 pi, aber das ist ja fast zweitrangig Big Laugh
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst keine Fläche berechnen, sondern ein Volumenintegral über dasjenige Paraboloid, welches bei Rotation der Parabel z=x² um die z-Achse entsteht und welches bei der Höhe z=4 "abgeschnitten wird.

Anschauliche Interpretation:
Den Integranden r²=x²+y² kann man als Dichteverteilung innerhalb des Paraboloides interpretieren. Offenbar nimmt diese Dichte proportional zum Quadrat der Entfernung von der z-Achse zu (also proportional zu r²). Direkt auf der z-Achse verschwindet die Dichte (also bei r=0). In dieser Interpretation ist das gesuchte Volumenintegral die Masse des Paraboloides.
marcelinho Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »