Partialbruchzerlegung Nullstellen gesucht aber wie?

18.06.2015, 17:13	Sahit	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung Nullstellen gesucht aber wie? Servus ich soll folgende Funktion mittels Partialbruchzerlegung (steht ausdrücklich so in der Aufgabenstellung) Integrieren: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{a}^{b} \!(\frac{2x+5}{x^{2}+4x+5} ) \, dx <br /> \end{eqnarray}$ Nun müsste man doch erstmal die nullstellen von $\begin{eqnarray} <br /> x^{2}+4x+5<br /> \end{eqnarray}$ bestimmen. Doch hier taucht ein Problem auf sowohl mit PQ-Formel als auch mit quadratischer Ergänzung nicht ohne Komplexe Zahlen zu machen da ich immer auf $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt{-1}<br /> \end{eqnarray}$ komme. Was kann ich hier machen?
18.06.2015, 17:17	gast1806	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung Nullstellen gesucht aber wie? Es gibt keine reellen Nullstellen. Du musst also mit komplexen Termen arbeiten. https //de wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
18.06.2015, 17:21	Sahit	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh Ok das wollte ich eigentlich vermeiden. Lustig daran Komplexe Zahlen waren bei uns erst nach der Integration dran aber was soll also einen alternativ weg außer mit Komplexen Zahlen zu arbeiten gibt es also nicht?
18.06.2015, 17:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch rein reell, auf Umwegen: Zunächst mal ist per logarithmischer Integration $\begin{align} \int \frac{2x+p}{x^2+px+q} ~ \dd x = \ln(x^2+px+q) \end{align}$ . damit kann man erstmal das $\begin{align} x \end{align}$ aus dem Zähler loswerden. Das Restintegral vom Typ $\begin{align} \int \frac{1}{x^2+px+q} ~ \dd x \end{align}$ kann man im Fall fehlender reeller Nullstellen auf das Grundintegral $\begin{align} \int \frac{1}{t^2+1} ~ \dd t = \arctan(t) \end{align}$ zurückführen, durch eine geeignete lineare Transformation basierend auf $\begin{align} x^2+px+q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4} \end{align}$ .

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