Spezielle Lösung von DGL gesucht

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18.06.2015, 17:43	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
Spezielle Lösung von DGL gesucht hi benötige etwas hilfe es geht um folgende dgl $\begin{eqnarray} u''+4u=cos(t)+sin(t) \end{eqnarray}$ die allgemeine lösung ist : $\begin{eqnarray} c_{1}sin(2x)+ c_{2}cos(2x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda _{1,2}=\pm 2i \end{eqnarray}$ als nullstellen des charakteristischen polynoms. nun fehlt mir noch die spezielle lösung. im skript finde ich zwar beispiele für die inhomogenität $\begin{eqnarray} b(t)= sin(kt) \end{eqnarray}$ aber mit $\begin{eqnarray} b(t)= sin(t)+cos(t) \end{eqnarray}$ komme ich nicht weiter. help?
18.06.2015, 17:52	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht Folgender Ansatz für y_p führt zum Ziel: u(p)=A cos(t) +B sin(t)
18.06.2015, 17:58	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht ich bin schwer von begriff! was ist y_p und was ist u_p y : charakteristisches polynom ? oder meinst du $\begin{eqnarray} p(\lambda ) \end{eqnarray}$
18.06.2015, 18:16	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht p steht für partikuläre Lösung
18.06.2015, 18:31	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht so bringt mir das allles irgendwie nichts.
18.06.2015, 18:52	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht Was genau verstehtst Du nicht?
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18.06.2015, 18:57	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht was soll ich mit u(p)=A cos(t) +B sin(t) anfangen? erster post ist doch so schön geschrieben
18.06.2015, 19:01	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht Du leitest den partikulären Ansatz 2 Mal ab, setzt diese in die Aufgabe ein und führst dann einen Koeffizientenvergleich durch. u= u(h) +u(p) ist dann die Lösung.
18.06.2015, 19:06	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht also ich setze p''=-Acos(t) -Bcos(t) in u''+4u=cost + sint ein? (wie?)
18.06.2015, 19:12	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht Du setzt folgendes in die Aufgabe ein: u(p)= A cos(t) +B sin(t) und u''(p)= -A cos(t) -B sin(t) multiplizierst das aus und machst dann einen Koeffizientenvergleich: für cos(t) und sin(t) , auf beiden Seiten. Du solltest für u(p)(t)= 1/3(cos(t) +sin(t)) kommen. Endlösung: u(t)= u(h) +u(p)
18.06.2015, 21:21	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht ok, jetzt hab ich es verstanden. mir war das mit der störfunktion nicht klar. ich dachte die form an der man die part. lösung auslegt ist einheitlich. dabei ist die form ja schon gegeben. bei mir war es (A)sin +(B)cos. wenn die störfunktion 10t^3+5t^2+1 gewesen wäre, dann hätte dann bentze ich als part. lös t^3+t^2(+1) ... also alles klar. jetzt noch was. inwiefern ändert sich das ganze wenn anfangswerte vorgegeben sind?
18.06.2015, 21:45	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht Die mußt Du natürlich beachten. z.B wenn Du hast u'(0) =u(0)=0 Dann ist vom Ergebnis die 1. Ableitung zu bilden. Du hast dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten , das Du lösen kannst. Die beiden Werte werden anschließend in das Ergebnis eingesetzt. In unserem Fall ist die Lösung dann: u(t)= 2/3 sin^2(t) (sin(t) +2 cos(t) +1)
18.06.2015, 22:43	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht ok alles klar. habs nachgerechnet- stimmt=) hey eines habe ich noch. wie löse ich denn sowas. das ist doch wieder eine ganz andere dgl oder? $\begin{eqnarray} u'(t)=\frac{1+u(t)^2}{1+t^2} \end{eqnarray}$ (mit u(0)=0) wenn ich u(0)=0 in die ausgangsgleichung einsetze und dann u ausrechne bekomme ich schon mal arctant(x) heraus. das ergebnis ist aber x....
19.06.2015, 09:35	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle lösung von dgl gesucht Diese DGL löst Du mit Trennung der Variablen. Ergebnis: $\begin{eqnarray} u(t)=tan(arctan(t) +C) \end{eqnarray}$ Wenn Du dort dann die AWB einsetzt erhälst Du $\begin{eqnarray} u(t)=t \end{eqnarray}$

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