Käfer auf dem Würfel (Stochastik)

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bobbybu Auf diesen Beitrag antworten »
Käfer auf dem Würfel (Stochastik)
Meine Frage:
Habe hier ein schwere Aufgabe im Bereich Stochastik und bin mir weder sicher, ob meine Lösung richtig ist, noch ob mein Weg der einfachste ist sie zu erreichen. Die Aufgabe lautet wiefolgt:

Ein Marienkäfer krabbelt auf den Kanten eines Würfels herum. Start ist der Punkt A (auf dem Würfel in der Draufsicht die Ecke links unten). Für jede Kante benötigt er 1 Minute. An jeder Ecke entscheidet er zufällig, wie er weitergeht.( Auch die gleiche Strecke rückwärts ist möglich)
Der Käfer wird in G gefressen ( in der Draufsicht der Punkt oben rechts, diagonal durch den Würfel die Ecke gegenüber A)

a.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Käfer nach 10 Minuten noch lebt?
b.) Was ändert sich, wenn der Käfer auch in B (die Ecke direkt neben A) gefressen würde?

Meine Ideen:
Ich habe mich bei der Lösung schwer getan, mir ist ein anderer weg eingefallen, für jede Ecke an der sich der Käfer befinden kann ein Baumdiagramm für alle nächsten zwei schritte aufzustellen. Diese Ergebnisse hab ich dann miteinander multipliziert unter Berücksichtigung, dass der Käfer zwischendrin ja auch schon gestorben sein kann, da er ja auch schon nach 3 Minuten theoretisch bei G gewesen sein kann. Herausgekommen sind aber immer nur ewig große Brüche, die keinen wirklichen Sinn haben. Eigentlich ist dies auch eine Oberstufen-Schulaufgabe. So schwierig kann die Lösungsfindung doch gar nicht sein...

[attach]38472[/attach]

Edit opi: Doppelten Dateianhang entfernt und Darstellung verbessert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für eine Schulfrage ordentlich, fast unglaublich anspruchsvoll. Augenzwinkern


a) Der Käfer kann von ausgehend nur mit einer ungeraden Anzahl von Kantenquerungen erreichen. Mit dem ersten Zug kommt er in die Menge . Von irgend einem Punkt in kann er in zwei Zügen den Zielpunkt erreichen, das geschieht bei 2 von 9 möglichen Pfaden, also mit Wahrscheinlichkeit . In allen anderen Fällen - also mit Wahrscheinlichkeit - gelangt er nach diesen zwei Zügen wieder in einen anderen Punkt aus !!!

Damit ist die Anzahl der nötigen Zweierzüge vom erstmaligen Eintritt in bis zum Erreichen des Punktes G geometrisch verteilt mit Parameter ; die Wahrscheinlichkeit für das Überleben nach 10 Zügen (also mindestens 9 Zügen nach dem erstmaligen Eintritt in ) entspricht dem Überleben von mindestens 4 Doppelzügen vom M ausgehend, also .


b) Auch hier ist es eine ungeradzahlige Zahl von Kantenquerungen, bis man von ausgehend in der Zielmenge ankommt. Im ersten Zug geschieht das mit Wahrscheinlichkeit , in allen anderen Fällen (also Wahrscheinlichkeit ) gelangt man erstmal in die Menge . Und jetzt wieder wie gehabt die Betrachtung von Doppelzügen. Der Unterschied zu a) ist, dass man nun in 4 von 9 Fällen in der Zielmenge anlangt (d.h. Wahrscheinlichkeit ) und mit Wahrscheinlichkeit in verbleibt.

Wieder werden für das Überleben mindestens 4 Doppelzüge von M nach M benötigt, unter Berücksichtigung des Anfangszuges geschieht dies mit Wahrscheinlichkeit .


P.S.: Schwer an dieser Aufgabe ist nicht die eigentlich Rechnung oben, sondern das Erkennen dieses "Aufenthaltorbits" , d.h., dass man diese Eckpunkte strukturell zusammenfassen kann - was die Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen im Vergleich zu anderen Zugängen enorm vereinfacht. smile


EDIT (23.06.2015): Das Interesse scheint dann doch begrenzt zu sein. Oder der Fragesteller hat (wie es üblich zu sein scheint) in zig Foren angefragt und ist inzwischen woanders fündig geworden. Schade um die verschwendete Zeit. unglücklich
 
 
bobbybu Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
Ganz im Gegenteil! Bin dem Matheboard treu geblieben, hab mich auch sehr über die Antwort gefreut! smile Hab die Aufgabe endlich verstanden. Hab nur einen Gastaccount und nicht ganz gecheckt wie ich hier damit antworten kann.
Nochmals vielen Dank!
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