Oberflächenintegral Parametrisierung

Neue Frage »

19.06.2015, 07:50	bobby1603333	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächenintegral Parametrisierung Meine Frage: Hallo, ich soll ein Oberflächenintegral berechnen. Das Flächenstück ,S, der Ebene x + y + z = a , ist von den Kooordinatenachsen begrenzt. (a > 0). Kann mir jemand helfen hier eine geeignete Parametrisierung der Fläche zu finden ? Meine Ideen: Ich habe gedacht, dass es vielleicht irgendwas mit Betragsfunktion zu tun hat aber ich weiß leider nicht weiter. Lg
19.06.2015, 09:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich lautet die Parameterdarstellung einer Ebene $\begin{eqnarray} \vec x(t_1,t_2)=\vec x_0+\vec x_1\cdot t_1+\vec x_2\cdot t_2 \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ irgendein Punkt innerhalb der Ebene und die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x_1, \vec x_2 \end{eqnarray}$ spannen die Ebene auf. Um diese 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x_1, \vec x_2, \vec x_3 \end{eqnarray}$ zu berechnen, beschaffe dir durch Probieren drei Punkte $\begin{eqnarray} \vec P_0, \vec P_1, \vec P_2 \end{eqnarray}$ , die auf der Ebene liegen (die also die Gleichung x+y+z=a erfüllen). Offenbar ist dann $\begin{eqnarray} \vec x_0=\vec P_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec x_1=\vec P_1-\vec P_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec x_2=\vec P_2-\vec P_0 \end{eqnarray}$ Setze diese Vektoren in die obige Parametergleichung ein und du hast das Gesuchte.
19.06.2015, 10:04	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Das mit der Parametrisierung klingt logisch, allerdings stellt sich für mich noch folgende Frage: Wie schränkst du $\begin{align} t_1 \end{align}$ und $\begin{align} t_2 \end{align}$ so ein, dass das Flächenstück nicht verlassen wird? Und man kann ja nicht irgendwelche Punkte nehmen, sondern diese müssen ja "innerhalb der Koordinatenachsen", also auf dem Spurdreieck liegen, oder?
19.06.2015, 10:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ebene x+y+z=a liegt schief im Raum (a =fest). Was meinst du, wenn du schreibst, dass diese Ebene "innerhalb der Koordinatenachsen" liegen soll? Beschreibe mal konkret, welches Teilgebiet dieser schiefen Ebene du meinst. Dann kann man die Parameter t1, t2 einschränken ------------------------------------------- Die Schnittgerade der Ebene mit der yz-Ebene erhält man, wenn man x=0 setzt, also z=-y+a. Die Schnittgerade der Ebene mit der zx-Ebene erhält man, wenn man y=0 setzt, also z=-x+a. Die Schnittgerade der Ebene mit der xy-Ebene erhält man, wenn man z=0 setzt, also y=-x+a.
19.06.2015, 11:18	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, gemeint ist das Flächenstück, das von den drei von dir beschriebenen Geraden begrenzt wird.
19.06.2015, 11:22	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mußt du das wirklich (als Übung) mit einem Integral berechnen oder geht´s auch im Kopf
Anzeige

19.06.2015, 11:29	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich denke auch bei bobby1603333 geht es (genau wie im meinem Beitrag) konkret um folgende Aufgabe: [attach]38467[/attach]
19.06.2015, 12:20	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, dass das Integrationsgebiet dasjenige Dreieck ist, dessen 3 Eckpunkte gerade die Schnittpunkte $\begin{eqnarray} \vec P_x, \vec P_y, \vec P_z \end{eqnarray}$ der Ebene x+y+z=a mit den Koordinatenachsen sind. --------------------------------------------------- Die 3 Schnittpunkte lauten offenbar $\begin{eqnarray} \vec P_x=\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec P_y=\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec P_z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie ich in meinem Beitrag am 19.06.15 um 9:33 schrieb, lautet die Parameterdarstellung der Ebene demnach $\begin{eqnarray} \vec x(t_1,t_2)=\underbrace{\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec P_x}+\underbrace{\begin{pmatrix} -a \\ a \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec P_y-\vec P_x}\cdot t_1+\underbrace{\begin{pmatrix} -a \\ 0 \\ a \end{pmatrix}}_{\vec P_z-\vec P_x}\cdot t_2 \end{eqnarray}$ Um nicht die gesamte unendliche Ebene zu erfassen, sondern nur das Dreieck, muss man die Parameter wie folgt einschränken: $\begin{eqnarray} t_1\in [0;1-t_2] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_2\in [0;1] \end{eqnarray}$ Somit lautet das Integral $\begin{eqnarray} I=\int_{t_2=0}^{1}\int_{t_1=0}^{1-t_2} \frac{1}{x+y+z}\cdot \underbrace {\left \| \begin{pmatrix} -a \\ a \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -a \\ 0 \\ a \end{pmatrix} \right \|}_{\text{Jacobideterminante}}\,\,dt_1dt_2 \end{eqnarray}$ Im Integranden musst du anstelle von x,y,z die Komponenten aus der obigen Parameterdarstellung einsetzen, also $\begin{eqnarray} x=a-a\cdot t_1-a\cdot t_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=a\cdot t_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=a\cdot t_2 \end{eqnarray}$ Dann treten im Integranden nur noch die Variablen t1, t2 auf und du kannst normal integrieren.
19.06.2015, 14:03	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah, vielen Dank für deine Hilfe!!
22.06.2015, 12:57	bibiba	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergebnis Kommt da als Ergebnis $\begin{eqnarray} a\sqrt{3}/2 \end{eqnarray*}$ raus?
22.06.2015, 16:08	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das stimmt !

Neue Frage »

Antworten »

Oberflächenintegral Parametrisierung

Verwandte Themen