Quadrik

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19.06.2015, 10:32	Quak	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrik Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe zu lösen a) Zeige Sie: Liegen $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ Punkte $\begin{eqnarray} (x_i,y_i)\in\mathbb R^2, i=1,...,6 \end{eqnarray}$ auf einer Quadrik, so sind die 6 Vektoren $\begin{eqnarray} (x_i^2,x_iy_i,y_i^2,x_i,y_i,1)\in\mathbb R^6 \end{eqnarray}$ linear abhängig. b) Zeigen Sie, dass man die Gleichung der Quadrik durch die 5 Punkte $\begin{eqnarray} (x_i,y_i)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} det\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_3^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1\\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1\\\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ erhält Meine Ideen: a) Hier handelt es sich doch um die selbe Determinante wie bei der b)? Das heißt hier könnte man um zu zeigen das die Matrix linear abhängig ist die Determinante berechnen und wenn diese Null ist dann sind die Zeilen bzw. Spaltenvektoren linear abhängig. b) Hier die Determinante mittels Laplace entwickeln? Viele Grüße!
19.06.2015, 11:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du sicher, dass du in b) die Determinante richtig geschrieben hast ? Sie ist so merkwürdig aufgebaut, weil 2. und 3. Zeile bis auf die 1. Spalte identisch sind, und weil $\begin{eqnarray} (x_3,y_3) \end{eqnarray}$ nicht auftritt. Deine Idee zu a) scheint falsch zu sein, es ist sicher nicht die selbe Determinante. Irgenwie musst du die Definition der Quadrik einbringen.
19.06.2015, 15:32	Quak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, da habe ich tatsache die dritte Zeile verhauen. Also nochmal die Determinante lautet: $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix}x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\\x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Die Darstellung der Quadrik im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \end{eqnarray}$ Wie soll ich damit nun den Aufgabenteil lösen und zeigen das die Vektoren linear abhängig sind? b) Hier muss ich die Determinante entwickeln? Grüße
20.06.2015, 10:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die folgende Idee zu a) hat mich eine schlaflose Nacht gekostet : $\begin{eqnarray} ax_i^2+bx_iy_i+cy_i^2+dx_i+ey_i+f=0 \end{eqnarray}$ gilt für jeden Punkt $\begin{eqnarray} (x_i,y_i) \end{eqnarray}$ der Quadrik. Also ist $\begin{eqnarray} a\begin{pmatrix} x_1^2 \\ ... \\ x_n^2 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} x_1y_1 \\ .. \\ x_ny_n \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} y_1^2 \\ ... \\ y_n^2 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}+e\begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} 1 \\ ... \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Diese Spaltenvektoren sind daher für jedes $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ linear abhängig. Wähle $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ , betrachte die Matrix, die diese Spaltenvektoren enthält, und beachte Zeilenrang=Spaltenrang. Vermutlich ist b) eine Folgerung daraus, ich sehe aber noch nicht genau, wie das geht. Jedenfalls ist nach a) die Determinante=0, wenn man in der ersten Zeile einen Punkt der Quadrik einsetzt.
20.06.2015, 11:07	Quak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, war das nicht auch meine Idee zu zeigen das Zeilen oder Spaltenvektoren linear abhängig sind wenn die Determinante Null ergibt. Das ist äquivalent dazu das Zeilenrang=Spaltenrang $\begin{eqnarray} =n \end{eqnarray}$ ist? Das ist allerdings sehr viel einfacher wie du es begründet hast da ich über die Determinante nämlich explizit die Determinante berechnen müsste. Da sieht die Argumentation schon sehr viel einfacher aus. b) Muss ich hier nicht einfach die Determinante entwickeln und feststellen das die Form $\begin{eqnarray} ax_i^2+bx_iy_i+cy_i^2+dx_i+ey_i+f=0 \end{eqnarray}$ herauskommt? Dann hätte man es direkt gezeigt. Es ist allerdings ziemlich mühsam diese Determinante zu berechnen. Das muss bestimmt auch anders gehen. Danke schonmal
20.06.2015, 11:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war nicht Deine Idee, sondern meine. Wie willst Du denn durch berechnen einer allgemeinen Determinante auf det=0 kommen ? Ich kann mir nicht vorstellen, dass das geht - außer du zeigst es mir. Übrigens ist $\begin{eqnarray} det=0 \Leftrightarrow Spalten\; l.a. \Leftrightarrow Zeilen\; l.a. \Leftrightarrow Rang<n \end{eqnarray}$ . Vielleicht ist b) sogar trivial, denn eine Entwicklung der Determinante kann gemacht und dann nach den Variablen der ersten Zeile sortiert werden. (Fehlt noch was zum Beweis ???) Nachtrag: Es fehlt tatsächlich nicht mehr viel, aber die exakte Begründung möchte ich lieber Dir überlassen.
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20.06.2015, 12:55	Quak	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss ich also die Determinante einmal berechnen? Man weiß allerdings schon das Ergebnis. Dort muss ja die Form der Quadrik herauskommen also sowas $\begin{eqnarray} ax_i^2+bx_iy_i+cy_i^2+dx_i+ey_i+f=0 \end{eqnarray}$ Die Determinante explizit auszurechnen erscheint mir dann doch ziemlich viel Arbeit. Das muss man bestimmt anders machen ... Danke dir
20.06.2015, 14:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man weiß schon das Ergebnis, genau so ist es. Das Ergebnis ist aber nicht das, was Du schreibst. Was soll ein Index i in einer Gleichung bedeuten ? Ich habe geschrieben, Du sollst das Ergebnis (theoretisch) nach den Variablen der ersten Zeile sortieren. Die fest vorgegebenen Zahlen $\begin{eqnarray} x_i,y_i \end{eqnarray}$ stecken dann in den Koeffizienten $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ der Quadrik-Gleichung. Übrigens müssen die 5 Punkte verschieden sein, sonst ist die Determinante 0. Wenn man dann noch einen weiteren Punkt der Quadrik in die erste Zeile einsetzt, so ist nach a) die Determinante 0. Das ist das fehlende Argument dafür, dass die aus der Determinante berechnete Gleichung wirklich die Quadrikgleichung ist. Denk noch mal darüber nach, und versuche es besser zu formulieren, als ich es konnte.
20.06.2015, 17:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag zur Entwicklung der Determinante: Wenn Du nach der 1. Zeile entwickelst, musst Du nicht einmal nach den Variablen sortieren, und die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a,...,f \end{eqnarray}$ der Quadrik-Gleichung sind Unterdeterminanten, also ganz offensichtlich aus den Koordinaten $\begin{eqnarray} (x_i,y_i), i=1,...,5 \end{eqnarray}$ der 5 Punkte zusammengesetzt. Wie man hier sieht, legen 5 beliebige verschiedene Punkte auf der Quadrik die ganze Quadrik vollständig fest. Das ist genau so, wie n+1 beliebige verschiedenePunkte auf dem Grafen einer reellen Polynomfunktion n-ten Grades die Polynomfunktion vollständig festlegen.

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