Potential eines Vektorfeldes

19.06.2015, 18:03	Guttenberg	Auf diesen Beitrag antworten »
Potential eines Vektorfeldes Meine Frage: Das Skalarfeld $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray}$ sei gegeben durch $\begin{eqnarray} f(x,y,z)= \cos(x^{2}\sin(yz))(xy)^{4}+\sin^{3}(xz)e^{xy}-5 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie ein Potential des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec{v} = \nabla f \end{eqnarray}$ . Dabei stehe ich gerade ziemlich auf dem Schlauch. Ich habe erstmal stumpf angefangen den Gradienten zu berechnen, bis ich dabei das Gefühl bekam, dass ich das garnicht unbedingt tun muss (es sieht auch eher unschön aus). Ich weiß nur nicht, wie ich im Endeffekt auf eine Lösung komme: Und zwar weiß ich nicht, ob ich ein bei uns einfach nur "Potential" genanntes Potential bestimmen soll oder ein Vektorpotential. 1. Kann ich überhaupt beides bestimmen in dieser Aufgabe? 2. Was ist der Unterschied? 3. Wie sieht ein (Vektor-)Potential für diese Aufgabe aus? Die Aufgabe ist sicherlich total einfach, aber ich habe wohl irgendwo ein Verständnisproblem... Meine Ideen: Damit Potentiale existieren, muss ja zunächst $\begin{eqnarray} rot\ \vec{v}=rot\ grad\ f = 0 \end{eqnarray}$ gelten. Dann habe ich an 2 Möglichkeiten gedacht: ----------------------------------------- 1 $\begin{eqnarray} rot\ \vec{W}=\vec {v} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec{W} \end{eqnarray}$ ein Vektorpotential ist. Dann muss $\begin{eqnarray} div\ rot\ \vec {W} = div\ \vec {v} = 0 \end{eqnarray}$ gelten. Dann wähle ich $\begin{eqnarray} \vec {W} = \begin{pmatrix} W_1 \\ W_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und damit kann ich dann $\begin{eqnarray} rot\ \vec {W} \end{eqnarray}$ bestimmen und es mit $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ gleichsetzen. Dann die Komponenten von $\begin{eqnarray} \vec {v} \end{eqnarray}$ entsprechend unbestimmt integrieren und mir irgendeine Lösung daraus bestimmen. Das wäre eher mühsam, da relativ lange Terme verarbeitet werden müssen, sollte aber funktionieren oder? ----------------------------------------- 2 $\begin{eqnarray} (-)grad\ G = \vec v \end{eqnarray}$ für ein Potential G. Damit könnte ich z.B. die erste Komponente von $\begin{eqnarray} \vec {v} \end{eqnarray}$ direkt unbestimmt integrieren und mit den anderen beiden Ableitungen G vollständig bestimmen. Allerdings fällt mir dabei auf, dass ich zunächst $\begin{eqnarray} \vec {v} = grad\ f \end{eqnarray}$ berechne und dann wieder integriere, also doch den Gradienten wieder "rückwärts" ausführe und damit schlussendlich bei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ lande?! Ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ also einfach eine Lösung für ein Potential?
24.06.2015, 15:53	gacea	Auf diesen Beitrag antworten »
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