Bruch vereinfachen

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Destrain Auf diesen Beitrag antworten »
Bruch vereinfachen
zz:

Es gilt , , und


Es ist wahrscheinlich eh nicht schwer, aber ich brings nicht zusammen und wenn ich d(x,y)+d(y,z) durch d(x,z) abschätze, komme ich auch nicht weiter...
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

willst Du das wirklich zeigen? Ich vermute, dass nicht: Willst Du nicht zeigen, dass bei gegebener Metrik d dann auch Metrik ist?
Destrain Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau! Die ersten zwei Kriterien habe ich schon gezeigt, nur mit der Dreiecksungleichung habe ich Probleme...
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Dann starte doch mal mit dem monotonen Wachstum von auf den nichtnegativen reellen Zahlen durch! Augenzwinkern
Destrain Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich hätte noch ein weiteres Problem:

Ich muss auch zeigen, dass d und die selbe Topologie erzeugen. Da weiß ich nicht, wie ich das zeigen könnte...
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann der Fall, wenn beide Metriken dieselben konvergente Folgen besitzen. Zeige also: Wenn eine Folge bezueglich konvergiert, so konvergiert sie auch bezueglich und vice versa.
 
 
Destrain Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht so?

ist auf monoton steigend

=>
Destrain Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke...ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen könnte...

Ich kann die Konvergenzdefinition nehmen:



gilt für alle Folgen, die bezüglich konvergieren. Hilft mir jetzt umformen weiter?
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Ungleichheitszeichen in deinem vorletzten Post ist Falsch. Du weisst lediglich, dass d die Dreiecksungleichung erfuellt. Zum zweiten: Nimm die Konvergenzdef, und schliesse sofort, dass die Folge auch bzgl der neuen Metrik konvergiert. Die andere Richtung ist ein weniger nicht offesnichtlich.
Destrain Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Bei der Dreiecksungleichung...keine Ahnung, da gibt es wahrscheinlich irgendeinen Trick, auf den ich nicht draufkomme. Ich habe eh schon vieles ausprobiert und komme durch umformen/abschätzen auf nichts...


Für den zweiten Teil:

zz:

, wobei

Ist wobei

Wähle so, dass

ist monoton steigend , also

Destrain Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt noch einen letzten Teil, und zwar soll man zeigen, dass


Ist das richtig?

folgt daraus, dass eine Metrik ist.


:

1. Fall:




2. Fall:

dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Dein zweiter Teil scheint richtig zu sein, womöglich habe ich etwas übersehen. Für die Dreiecksungleichung überlege Dir, dass du bereits hast, also und mit der von Dir bewiesenen Monotonie von auch . Schreib das mal aus und schätze es geeignet ab. Ich bin sicher, dass Du draufkommst!

Alles Liebe,

DRM
Destrain Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt sollte ich es haben!

dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt hast Du es! Freude
Destrain Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmals! smile
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, gern gemacht Augenzwinkern
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