Faltungsintegral lösen

20.06.2015, 17:28	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltungsintegral lösen Meine Frage: Hallo, ich möchte das folgende Faltungsintegral bestimmen: $\begin{eqnarray} I(x) = (o s)(x) = \int_{-\infty}^{+ \infty} \! o(x+ \chi) \cdot s(\chi) \, d\chi \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} s(x) = max(1- \| x \| , 0) \,\,\,\, o(x) = \delta (x-2) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Dieses Faltungsintegral soll die Bewegung eines AFM-(Rasterkraftmikroskop-) Cantilevers modellieren. Allerdings frage ich mich, ob der Cantilever durch die Maximumsfunktion beschrieben, da der zugehörige Graph eine nach oben gerichtete Dreiecksfunktion darstellt. Eigentlich sollte die Faltung selbst eine obere Dreiecksfunktion ergeben, da das rekonstruierte Bild um 180° gedreht wird. Durch Einsetzen der Funktion erhalte ich: $\begin{eqnarray} I(x) = (o s)(x) = \int_{-\infty}^{+ \infty} \! \delta(x+ \chi - 2) \cdot max(1 - \| \chi \| , 0) \, d\chi = ... (???) \end{eqnarray*}$ Was muss ich nun tun?? Vielan Dank für Eure Hilfe!! Widderchen
20.06.2015, 17:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faltungsintegral lösen Dort wo das Argument der Dirac"funktion" etwas ungleich 0 ist, verschwindet das Integral einfach. Es bleiben einfach die Stellen, wo das Argument bereits 0 ist. Da das Argument eine lineare Funktion ist, gibt es genau für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ genau ein $\begin{eqnarray} \xi_x \end{eqnarray}$ s.d. es wirklich 0 ist. Dann gilt $\begin{eqnarray} I(x) = s(\xi_x) \end{eqnarray}$ . Bist du dir eigentlich bei der Definition der Faltung sicher? Üblicherweise nimmt man dort ein Minus statt Plus.
20.06.2015, 18:05	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die Antwort! Diese Definition wurde in der Vorlesung verwendet, allerdings kenne ich auch die Definition der Faltung mit negativem Vorzeichen im Argument. Hmmm... Also verschwindet aufgrund der Delta-Funktion das Integral für alle $\begin{eqnarray} x + \chi \neq 2 \end{eqnarray}$ . Also ist: $\begin{eqnarray} I(x) = s(2-x) = max(1 - \| 2-x \|, 0) \end{eqnarray}$ ??? Viele Grüße Widderchen
20.06.2015, 18:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus der Achsensymmetrie von s folgt, dass beide Faltungsbegriffe hier übereinstimmen. Wenn man das häufiger betrachtet, möchte man vlt kein Minus mitschleppen. Und genau, und damit erhält man wirklich wieder eine Dreiecksfunktion -- bloss etwas verschoben.
20.06.2015, 18:17	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt, s ist y-achsensymmetrisch, womit diese Definition des Faltungsintegrals in diesem Fall zulässig ist! Vielen Dank für deine Hilfe! Widderchen

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