Dreifachintegral

20.06.2015, 17:38

Dreifachintegral12

Dreifachintegral

Siehe Bild

Meine Idee

Gesamt Volumen = Volumen Rechteck + Volumen ellipse

volumen rechteck :

pi * r^2* h = 113,2

oder als Dreifachintegral....

Nun zum eig. Problem... die Grenzen der Ellipse aufstellen

Meine Idee wäre

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \, \int_{0}^{3} \ \, \int_{0}^{\frac{1}{2}*\sqrt{16-(x-3)^2} } \! r \, dzdrdw \end{eqnarray*}$

bin mir beim Integral für die Ellipse aber nicht sicher.... und bevor ich anfange zu integrieren... wäre das richtige Dreifachintegral schon vom vorteil...

Korrektur durchgeführt und Korrekturbeitrag entfernt. (Guppi12)

20.06.2015, 17:55

klarsoweit

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RE: Dreifachintegral
Ich weiß jetzt nicht, warum du da mit einem Dreifachintegral rangehen möchtest. Das Rotationsvolumen ergibt sich doch einfach durch $\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot \int_3^7 (f(x))^2 ~dx \end{eqnarray*}$ .

20.06.2015, 18:03

Dreichfachintegral12

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wir müssen es leider mit einen Dreifachintegral lösen....
Das wurde auch in den Vorlesungen explizit mehrfach erwähnt, dass wir alle Volumina mit Dreifachintegrale lösen müssen....

und in den Dreifachintegral oben steht natürlich ein r und kein z

ist den mein Dreifachintegral korrekt ?

20.06.2015, 18:05

Dreifachintegral12

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \, \int_{3}^{7} \ \, \int_{0}^{\frac{1}{2}*\sqrt{16-(x-3)^2} } \! r \, dzdrdw \end{eqnarray*}$

20.06.2015, 18:14

klarsoweit

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Wenn's denn sein muß, dann brauchst du aber dieses Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \, \int_{3}^{7} \ \, \int_{-\frac{1}{2}*\sqrt{16-(r-3)^2}}^{\frac{1}{2}*\sqrt{16-(r-3)^2} } \! r \, dzdrdw \end{eqnarray*}$

20.06.2015, 18:28

Dreifachintegral12

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ginge auch

$\begin{eqnarray*} 2* \int_{0}^{2\pi } \, \int_{3}^{7} \ \, \int_{0}^{\frac{1}{2}*\sqrt{16-(x-3)^2} } \! r \, dzdrdw \end{eqnarray*}$

da ich davon ausgehe das das Integral zur X-Achse symmetrisch ist

20.06.2015, 19:13

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Prinzipiell ja, aber du solltest die Symmetrie zur z-Achse als Begründung nehmen. smile

Es wäre aber auch das gleiche rausgekommen, wenn du das Integral über z ausgeführt hättest. Augenzwinkern

20.06.2015, 19:21

Dreifachintegral12

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mein Ergebnis nachdem ersten Integral wäre wie folgt

$\begin{eqnarray*} 2r\int_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{16-(r-3)^2} } \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2r*\frac{1}{2} \sqrt{16-(r-2)^2} \Rightarrow <br /> <br /> r*\sqrt{16-(r-2)^2} \end{eqnarray*}$

Bin mir aber unsicher, ob ich die 2 direkt im ersten Integral reinziehen kann.... oder ob ich das zum schluss machen muss

20.06.2015, 19:29

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Ziemlich chaotisch: ein Implikationspfeil, wo ein Gleichheitszeichen hingehört, und eine Integrationsvariable x, die eigentlich z sein sollte. Ich könnte mich aber mit diesem anfreunden:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{16-(r-3)^2} } ~dz = \frac{1}{2} \sqrt{16-(r-3)^2} \end{eqnarray*}$

Konstante Faktoren kannst du durch alle Integrale "hindurch" ziehen.

20.06.2015, 19:35

Dreifachintegral12

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nach der Integration erhalten wir, da stimme ich dir zu 100% zu

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sqrt{16-(r-2)^2} \end{eqnarray*}$

aber das r hatte ich vors Integral geschoben gehabt

also müssen wir es nun reinmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} r*\frac{1}{2} \sqrt{16-(r-2)^2} \end{eqnarray*}$

und vorm letzten Integral habe ich noch den Fakor 2 .. den kann ich doch theoretisch dann nach vorne ziehen..

$\begin{eqnarray*} 2*r\frac{1}{2} \sqrt{16-(r-2)^2} \end{eqnarray*}$

20.06.2015, 19:43

Dreifachintegral12

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statt der 2 eine 3 Augenzwinkern

aber das Prinzip bleibt erhalten

20.06.2015, 20:14

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Ja, das ist ok. Spannend wird es nun mit der Integration des Wurzelausdrucks. smile

EDIT: ich mach dann mal für heute Feierabend. Prost

20.06.2015, 20:18

Dreifachintegral12

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ich knobel mal ein bissl rum .. ich kenne das Endergebnis (120 pi )

und falls ich nicht weiter weiß, werde ich morgen nochmal hier kommentieren

aber Danke erstmal !

21.06.2015, 14:11

Dreifachintegral12

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ich würde substituieren

u = (r-3)

du/dr = 1
du = dr

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{7} \! r\sqrt{4^2-u^2} \, du \end{eqnarray*}$

das r stört aber noch ....

oder man könnte

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{7} \! (u+3)\sqrt{4^2-u^2} \, du<br /> \end{eqnarray*}$

22.06.2015, 08:28

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Zitat:

Original von Dreifachintegral12
oder man könnte

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{7} \! (u+3)\sqrt{4^2-u^2} \, du<br /> \end{eqnarray*}$

Man könnte nicht nur, man muß. Allerdings hast du die Grenzen nicht angepaßt. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4} \! (u+3)\sqrt{4^2-u^2} \, du \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Klammer ausmultiplizieren und zwei Integrale daraus machen.

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