Verschoben! Vektorrechnung

20.06.2015, 18:09

nosik 2

Vektorrechnung

Meine Frage:
Berechnen Sie die Winkel, die von je zwei der Vektoren u,v,w gebildet werden:

u = (0,1,1)
v =(1,1,2 )

w = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{6} } \left(1,1,2\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe folgendes gemacht :
Skalarprodukt gebildet :
u*v = 2
u*w = 6

v*w = 0

Dann habe ich den Betrag ausgerechnet :

|u|=3
|v|= 15
|w|= 6

Dann folgende Formel verwendet :

$\begin{eqnarray*} \alpha = arccos \left(\frac{u*v}{|u| |v| }\right) \end{eqnarray*}$

Und diese Werte hatte ich raus :
Winkel zwischen : u und v = 87,70°
Winkel zwischen : u und w = 70,73°
Winkel zwische : v und w = 90 °

Ist das alles so richtig ?
Oder ist da was falsch ?

Grus nosik

20.06.2015, 18:19

Mi_cha

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da ist eigentlich alles falsch.

Die Skalarprodukte ebenso wie die Längen der Vektoren stimmen nicht.

Exemplarisch
$\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} | \vec{u} | =| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} | =\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

25.06.2015, 21:12

nosik 2

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Ich habe das nochmal neu gerechnet:
Ich sehe sogar dass ich ein Fehler bei der Eingabe gemacht habe.
Vektor u = ( 0,1,1 ), v = (1,1,2), w = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$ (1,-1,0)

1. Vektor w umgeschrieben:

w= $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sqrt{6} }, - \frac{1}{\sqrt{6} } ,0\right) \end{eqnarray*}$

2. Skalar Produkt :

$\begin{eqnarray*} \vec{u}\cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$ = 3

$\begin{eqnarray*} \vec{u}\cdot \vec{w} = -\frac{1}{\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{v}\cdot \vec{w} = 0 \end{eqnarray*}$

3. Beträge bilden:

$\begin{eqnarray*} |u| =\sqrt{2}, <br /> |v| =\sqrt{6} , <br /> |w| = 0 \end{eqnarray*}$

4. Formel :

Für den Winkel zwischen den Vektoren u und v =30°

Für den Winkel zwischen den Vektoren u und w = 114.1°

Für den Winkel zwischen den Vektoren v und w = 90°

Da sind bestimmt Fehler drin müsste aber besser als die vorhige Rechnung sein.
oder?

26.06.2015, 00:27

mYthos

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|w| ist nicht Null und der Winkel (u, w) ist falsch
.. ansonsten richtig

mY+

26.06.2015, 23:17

nosik2

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Vektorrechnung
Ich habe das folgndermaßen gerechnet :

$\begin{eqnarray*} |w|= \sqrt{x ^2+ y^2+z^2} <br /> |w|= \sqrt{\frac{1}{\sqrt{6} }^2 - \frac{1}{\sqrt{6} } ^2 +0^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{6} }^2 - \frac{1}{\sqrt{6} } ^2 = 0 \end{eqnarray*}$

und so dann $\begin{eqnarray*} |w| \end{eqnarray*}$ = 0 ausgerechnet

26.06.2015, 23:27

mYthos

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Welches Vorzeichen hat das Quadrat einer negativen Zahl?
-----------
Skizziere dir mal den Vektor. Dessen Länge kann doch unmöglich Null sein!

mY+

28.06.2015, 14:15

nosik 2

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ich habe das mit Hilfe von Wolfram Alpha gemacht und habe da

|w| = $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{\frac{3}{4} } \end{eqnarray*}$ raus.

Ist das richtig ?

29.06.2015, 01:19

mYthos

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Was auch immer du in Wolfram eingegeben hast, es ist falsch.
Ich verstehe nicht, weshalb es dir so schwerfällt, einfach die Quadrate der Komponenten zu summieren und daraus die Wurzel zu ziehen, da braucht's auch keinen Wolfram und dergleichen.

$\begin{eqnarray*} | \vec w | = \sqrt{\frac 1 6 + \frac 1 6} = \sqrt {\frac 1 3} = \frac 1 {\sqrt 3} = \frac {\sqrt 3} 3 \end{eqnarray*}$

mY+

02.07.2015, 21:49

nosik 2

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darf ich ganz vorsichtig fragen ob der Winkel zwischen u und v 120° ist ?

02.07.2015, 22:25

Mi_cha

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Du hast diesen Winkel zwischen u und v doch schon richtig berechnet zu 30 Grad.

Edit: falls du den Winkel zwischen u und w meinst, liegst du nicht ganz falsch. Man gibt aber idR den kleineren Winkel an, das wäre in diesem Fall 60 Grad.

02.07.2015, 23:14

opi

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Zitat:

Original von Mi_cha
Man gibt aber idR den kleineren Winkel an, das wäre in diesem Fall 60 Grad.

Nein, daß macht man bei bei Schnittwinkeln z.B von Geraden oder Ebenen. Bei Winkeln zwischen Vektoren gibt man den Winkel an, der auch tatsächlich aufgespannt wird. Der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec w \end{eqnarray*}$ beträgt also $\begin{eqnarray*} 120^\circ . \end{eqnarray*}$

Nebenbei: Auf den skalaren Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 6} \end{eqnarray*}$ kann man auch verzichten, bei der Winkelberechnung kommt es nicht auf die Länge der Schenkel an.

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