Taylerabschätzung zu -xlogx - (1-x)log(1-x)

20.06.2015, 19:19	mlucy	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylerabschätzung zu -xlogx - (1-x)log(1-x) Meine Frage: Betrachtet wird eine Funktion f(x) = -xlog(x) -(1-x)log(1-x). Sei $\begin{eqnarray} x_0 \in [a,b] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q_{3}(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)-\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 + \frac{1}{3!}f'''(x_0)(x-x_0)^3 \end{eqnarray}$ das Taylorpolynom 3. Grades. Warum gilt dann $\begin{eqnarray} Q_3(x) + \frac{(x-x_0)^4}{4!}\min\limits_{\frac{a}{2}\leq t \leq \frac{b+1}{2}}f^{(4)}(t) \geq f(x) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Bei mir ist Taylor schone eine Zeit her und nach ein paar Recherchen weiß ich immer noch nicht, wie das Paper, auf das ich mich beziehe, auf diese Behauptung kommt. Habe mir auch den Mittelwert nochmal angeschaut und alles mal aufgelöst. Außerdem weiß ich, dass f eine konkave Funktion ist, wobei ich nicht sicher bin inwieweit mir das an dieser Stelle hilft. Wieso werden unter dem Minimum überhaupt solche Grenzen gewählt? Für Tipps wäre ich dankbar.
21.06.2015, 13:28	mathelucy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylerabschätzung zu -xlogx - (1-x)log(1-x) Was mir jetzt auch noch aufgefallen ist: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\in[\frac{a}{2},\frac{b+1}{2}] \end{eqnarray}$ Für diesen Wert ist $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ maximal. Aber was bringt mir das? Das Lagrange-Restglied hat die Gestalt $\begin{eqnarray} R_f(x) = f^{(4)}(\xi)(x-x_0)^4\frac{1}{4!},\xi\in[x_0,x] \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} [x_0,x]\subset[a,\frac{b+1}{2}] \end{eqnarray}$ . Gilt dann nicht $\begin{eqnarray} f(x) = Q_3(x) + R_f(x) \geq Q_3(x) + \frac{(x-x_0)^4}{4!}\min\limits_{\frac{a}{2}\leq t \leq \frac{b+1}{2}}f^{(4)}(t) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in[\frac{a}{2}, \frac{b+1}{2}] \end{eqnarray}$ ?
21.06.2015, 13:37	mlucy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylerabschätzung zu -xlogx - (1-x)log(1-x) Das Thema hat sich erledigt und kann geschlossen werden. (übrigens habe ich hier unter zwei verschiedenen Namen gepostet. Sry dafür.)

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