Integral lösen mit Fallunterscheidung

20.06.2015, 19:53	Matthi	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral lösen mit Fallunterscheidung Meine Frage: Hallo Zusammen, ich habe folgendes Integral, welches ich lösen soll: $\begin{eqnarray} <br /> F(x) = \int\! \frac{1}{\sqrt{x^{2}-7 } } \, dx <br /> \end{eqnarray}$ Die Lösung dieses Integrals lautet : $\begin{eqnarray} <br /> F(x) = ln(\| x+\sqrt{x^{2} -7} \| )<br /> \end{eqnarray}$ Mein Problem ist nun, dass ich nicht verstehe woher die Betragsstriche herkommen ... Ich habe es bereits durchgerechnet, komme aber nur für $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ auf die richtige Lösung. Für $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ ist mein Ergebnis leider Falsch, vielleicht könnt ihr mir helfen? Meine Ideen: Zu Beginn habe ich x substituiert: $\begin{eqnarray} <br /> x = cosh(z) \sqrt{7} \Rightarrow \frac{dx}{dz} = sinh(z)\sqrt{7} <br /> \end{eqnarray}$ Somit lässt sich das Integral umschreiben in wie folgt: $\begin{eqnarray} <br /> \int\! \frac{\sqrt{7}sinh(z)}{\sqrt{cosh(z)^{2}7-7 } } \, dz <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \int\! \frac{sinh(z)}{\sqrt{cosh(z)^{2}-1 } } \, dz <br /> \end{eqnarray}$ Im Nenner befindet sich nun der sinh(z). Da ich allerdings die Wurzel ziehe, muss ich ja noch Betragsstriche hinzufügen. Liege ich da richtig ? $\begin{eqnarray} <br /> \int\! \frac{sinh(z)}{\|sinh(z)\| } \, dz <br /> \end{eqnarray}$ Nun würde ich eine Fallunterscheidung machen. Falls nun sinh(z) > 0 dann sind die Betragsstriche nicht mehr nötig: $\begin{eqnarray} <br /> \int\! \frac{sinh(z)}{sinh(z) } \, dz = \int\! 1 \, dz = z + C<br /> \end{eqnarray}$ Zu Beginn wurde x substituiert. Nun lässt sich daraus z ermitteln: $\begin{eqnarray} <br /> x = cosh(z) \sqrt{7} \Rightarrow z = arcosh(\frac{x}{\sqrt{7}})<br /> \end{eqnarray}$ Und nun kann die Lösung ( für den Fall, dass sinh(z) > 0 ist )angegeben werden: $\begin{eqnarray} <br /> F(x) = arcosh(\frac{x}{\sqrt{7}}) + C = ln(x+\sqrt{x^{2}-7}) + C<br /> \end{eqnarray}$ Ich glaube , das dürfet soweit richtig sein :-) __________________________________________________________ Nun das selbe Spiel für den Fall, dass sinh(z) < 0 ist. Und ich vermute, dass ich da irgendwo meinen Fehler mache: $\begin{eqnarray} <br /> \int\! \frac{sinh(z)}{-sinh(z) } \, dz = \int\! -1 \, dz = -z + C<br /> \end{eqnarray}$ Und nun z , wie oben bereits, resubstirutieren: $\begin{eqnarray} <br /> F(x) = -arcosh(\frac{x}{\sqrt{7}}) + C = -ln(x+\sqrt{x^{2}-7}) + C<br /> \end{eqnarray}$ Und das scheint irgendwie Falsch zu sein ... Ich weiß leider nicht wieso. Es müsste nämlich heraus kommen: $\begin{eqnarray} <br /> F(x) = -ln(-x+\sqrt{x^{2}-7}) + C<br /> \end{eqnarray*}$ Könnt ihr mir da weiter helfen ? Ich hoffe, ich habe mein Problem verständlich geschildert. Ich bedanke mich sehr für eure Hilfe. Viele Grüße, Matthi
21.06.2015, 09:47	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral lösen mit Fallunterscheidung Guten Morgen, was jetzt kommt ist Stochern im Nebel: $\begin{eqnarray} \|\sinh(x)\|=\left \lbrace \begin{array}{rcl} \sinh(x) & \text{d.h.} & \sinh(x) \geq 0 \ \text{für} \ x \geq 0 \\ -\sinh(x) & \text{d.h.} & \sinh(x) < 0 \ \text{für} \ x < 0 \end{array} \right . \end{eqnarray}$ Ich vermute also, dass es an dem Minuszeichen von x liegen muss, wenn der Sinus hyberbolicus negativ ist.

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