Extremwertaufgabe

20.06.2015, 21:44

Rivago

Extremwertaufgabe

Einer Kugel K mit dem gegebenen Radius $\begin{eqnarray*} r_K \end{eqnarray*}$ werde ein Zylinder einbeschrieben. Wie sind die Höhe $\begin{eqnarray*} h_Z \end{eqnarray*}$ und der Radius $\begin{eqnarray*} r_Z \end{eqnarray*}$ des Zylinders in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} r_K \end{eqnarray*}$ zu wählen, damit der Mantel des Zylinders maximal wird?

Die Mantelfläche eines Zylinders ist $\begin{eqnarray*} M = 2\pi rh \end{eqnarray*}$

Und auf die Aufgabe bezogen somit $\begin{eqnarray*} M = 2\pi r_Z h_Z \end{eqnarray*}$ , das ist die Hauptbedingung.

Nun muss ich die Nebenbedingung beschreiben.. und hier hab ich leider schon Probleme. unglücklich

Was ist hier überhaupt Nebenbedingung? Vllt hilft mir das schon, damit ich es mathematisch ausdrücken kann..

20.06.2015, 21:48

Bjoern1982

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Denk mal an den Kollegen Pythagoras. Augenzwinkern

20.06.2015, 23:02

Rivago

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Soo.. hab gerade noch mit einer anderen Aufgabe gekämpft und anschließend mit der hier, damit ich dir antworten kann Big Laugh

Also ich hab nun $\begin{eqnarray*} r_Z^2 = r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2 \end{eqnarray*}$ , somit $\begin{eqnarray*} r_Z = \sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das in die Formel einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} M = 2\pi \cdot \sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2} \cdot h_Z \end{eqnarray*}$

Das muss man ja nun ableiten..

Hab es mal versucht, hoffentlich ist das richtig verwirrt

$\begin{eqnarray*} M'(h_Z) = 2\pi \cdot \frac{-h_Z^2}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} + 2\pi \cdot \sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2} \end{eqnarray*}$

Krieg ich das jetzt noch ein bissl vereinfacht? Sonst wird es mit Null-setzen wohl schwierig verwirrt

Edit: Noch kurz mein u', v' und w' für den Fall, das meine Ableitung falsch ist (was ich glaube).. vllt findest du dann den Fehler schneller.

$\begin{eqnarray*} u' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = -\frac{h_Z}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w' = 1 \end{eqnarray*}$

20.06.2015, 23:46

Bjoern1982

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Zitat:

Sonst wird es mit Null-setzen wohl schwierig

Wenn du die Gleichung mit dem Wurzelterm im Nenner multiplizierst, dann vereinfacht sich alles erheblich.

Alternativ hätte man auch über das Betrachten der Funktion M²(hz) nachdenken können, um es beim Ableiten einfacher zu haben.

20.06.2015, 23:57

Rivago

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Also stimmt die Ableitung? smile

Werde mich da morgen mit beschäftigen. Für heute ist die Luft raus.. Gute Nacht Wink

20.06.2015, 23:59

Bjoern1982

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Ja die Ableitung sollte passen (sonst hätt ich schon gemeckert Augenzwinkern

).

Viel Erfolg morgen in alter Frische. Wink

20.06.2015, 23:59

Dopap

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und ich würde 2h in die Wurzel reinnehmen:

$\begin{eqnarray*} M(h)=\pi \sqrt{4h^2R^2-h^4} \end{eqnarray*}$

Wink

21.06.2015, 13:10

Rivago

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Ich hab es mal versucht das noch zu vereinfachen, aber scheint nicht geklappt zu haben..

$\begin{eqnarray*} M'(h_Z) = 2\pi \cdot \frac{-h_Z^2}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} + 2\pi \cdot \sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2\pi \cdot \frac{-h_Z^2}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} + \frac{2\pi \cdot \sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}}{1} \cdot \frac{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{ 2\pi \cdot -h_Z^2}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} + \frac{8\pi(r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2)}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{8\pi \cdot r_K^2}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2\pi \cdot r_K^2}{\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} \end{eqnarray*}$

Wo mach ich den Fehler?

21.06.2015, 13:41

Dopap

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bei meinem Vorschlag kannst du auf Produktregel verzichten.

Aber du willst ja unbedingt dein Monstrum weiterrechnen. unglücklich

Zitat:

Original von Rivago

$\begin{eqnarray*} = \frac{ 2\pi \cdot -h_Z^2}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} + \frac{8\pi(r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2)}{4\sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2}} \end{eqnarray*}$

Wo mach ich den Fehler?

$\begin{eqnarray*} -2\pi h^2-2\pi h^2=... \end{eqnarray*}$

21.06.2015, 13:54

Rivago

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Okay, habs gefunden..

Dann muss ich $\begin{eqnarray*} 0 = 2\pi \cdot r_K^2 - \pi \cdot h_z \end{eqnarray*}$

Und admit ergibt sich $\begin{eqnarray*} h_Z = \sqrt{2} \cdot r_K \end{eqnarray*}$

Deinen Vorschlag hab ich leider nicht verstanden und deswegen erstmal außen vorgelassen unglücklich

21.06.2015, 15:45

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago

Wenn ich das in die Formel einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} M = 2\pi \cdot \sqrt{r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2} \cdot h_Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M(h_Z) = \pi \cdot \sqrt{4h_Z^2( r_K^2 - \frac{1}{4}h_Z^2)}= \pi \cdot \sqrt{4h_Z^2 r_K^2 - h_Z^4)} \end{eqnarray*}$

wo ist da das Problem ?

und jetzt bist du die leidige Produktregel los!

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