Galoisgruppe bestimmen

21.06.2015, 01:51

aleos

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Galoisgruppe bestimmen

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe möchte gelöst werden:
$\begin{eqnarray*} \alpha = \sqrt{ 5 + 2\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$
Zu bestimmen ist nun die Galoisgruppe $\begin{eqnarray*} Gal( Q(\alpha) \slash Q ) \end{eqnarray*}$ wobei Q die rationalen Zahlen darstellt.

Mein Idee bisher:
Ich habe bereits nachweisen können, dass gilt: $\begin{eqnarray*} [Q(\alpha) : Q ] = 4 \end{eqnarray*}$ gilt.
Daraus habe ich geschlussfolgert, dass $\begin{eqnarray*} Gal( Q(\alpha) \slash Q ) \end{eqnarray*}$ isomorph zu $\begin{eqnarray*} \frac{Z}{2Z} \times \frac{Z}{2Z} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{Z}{4Z} \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt weiß ich, dass eine Galois-Gruppe wie folgt definiert ist:
$\begin{eqnarray*} G(F\slash K) = \{ \phi \in Aut(F) | \phi|_K = id_K\} \end{eqnarray*}$

Aber weiter weiß ich jettz nicht mehr ...
Hilfe wäre sehr nett, danke.

21.06.2015, 15:53

Captain Kirk

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Hallo,

am einfachsten dürfte es sein, einen Automorphismus der Ordnung 4 direkt anzugeben.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q (a) \end{eqnarray*}$ ist bereits Zerf.körper des Min.pol.

21.06.2015, 18:29

aleos

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Geht es vielleicht etwas konkreter? Ich weiß nicht so recht wie ich einen solchen Aut. angeben kann.

Was ich aber weiß ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} \phi: Q(\alpha) \to Q(\alpha) \text{ mit } \phi|_Q = id_Q \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt noch die Vorschrift für Alpha und das würde ich so machen:
$\begin{eqnarray*} \phi(\alpha) = - \alpha \end{eqnarray*}$

Langt das so? Ich vermute nämlich eher nicht.

21.06.2015, 18:47

Captain Kirk

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Zitat:

Geht es vielleicht etwas konkreter? Ich weiß nicht so recht wie ich einen solchen Aut. angeben kann.

Eigentlich dachte ich, ich hätte das mit der zweiten Zeile getan. Ist daran irgendwas unverständlich?

Zitat:

Jetzt fehlt noch die Vorschrift für Alpha und das würde ich so machen:
$\begin{eqnarray*} \phi(\alpha) = - \alpha \end{eqnarray*}$

Der hat Ordnung 2.

21.06.2015, 18:58

aleos

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Welches Element aus $\begin{eqnarray*} Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ fehlt denn in der Abbildung? Es ist doch nur die Menge Q und das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Übersehe ich etwas?

Dass ich bereits ein Zerfällungskörper eines MinPol habe, das habe ich bereits gesehen. Leider weiß ich nicht so recht, wie mir das weiterhelfen soll. So trivial ist das dann für mich doch nicht. Zumindest noch nicht.

21.06.2015, 19:03

Captain Kirk

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Zitat:

Übersehe ich etwas?

Die beiden anderen Nullstellen.

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21.06.2015, 19:09

aleos

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Achso, ok.

Dann gilt zusätzlich für das obige $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta = \sqrt{ 5 - 2\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(\beta) = -\beta \end{eqnarray*}$

Besser? Sicherlich.
Fertig? Ich vermute noch immer nicht ...

21.06.2015, 19:13

Captain Kirk

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Besser ist es.

Aber rechne dochmal die Ordnung nach.

21.06.2015, 19:19

aleos

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Die Ordnung des Aut? Die wäre 3, wenn ich mich nicht vertue.

Einmal die Identität, und jeweils das Alpha und Beta. Ist die Überlegung korrekt?

Damit ich aber einen Isomorphismus zu $\begin{eqnarray*} \frac{Z}{2Z}\times\frac{Z}{2Z} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{Z}{4Z} \end{eqnarray*}$ bekomme, brauche ich die Ordnung 4.

21.06.2015, 19:32

Captain Kirk

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Zitat:

Die Ordnung des Aut? Die wäre 3, wenn ich mich nicht vertue.

Einmal die Identität, und jeweils das Alpha und Beta. Ist die Überlegung korrekt?

Was willst du mir damit sagen?

Ich meinte die Ordnung des Automorphismus.

Zitat:

Damit ich aber einen Isomorphismus zu $\begin{eqnarray*} \frac{Z}{2Z}\times\frac{Z}{2Z} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{Z}{4Z} \end{eqnarray*}$ bekomme, brauche ich die Ordnung 4.

Ist dir klar warum wir einen Automorphismus der Ordnung 4 suchen?

21.06.2015, 19:39

aleos

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Die Ordnung des Aut? Die wäre 3, wenn ich mich nicht vertue.

Einmal die Identität, und jeweils das Alpha und Beta. Ist die Überlegung korrekt?

Was willst du mir damit sagen?

Das war nichts unglücklich

unglücklich

Ich frage einfach bevor ich weiter rate: Wie berechne ich denn die Ordnung des Aut? Wie die Ordnung definiert ist, weiß ich. Wenn wir von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ mit p Primzahl reden, dann ist das Berechnen der Ordnung recht einfach. Wie geht das aber bei einem Aut?

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Damit ich aber einen Isomorphismus zu $\begin{eqnarray*} \frac{Z}{2Z}\times\frac{Z}{2Z} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{Z}{4Z} \end{eqnarray*}$ bekomme, brauche ich die Ordnung 4.

Ist dir klar warum wir einen Automorphismus der Ordnung 4 suchen?

Weil $\begin{eqnarray*} Q( \alpha ) \end{eqnarray*}$ den Grad 4 hat.

21.06.2015, 19:46

Captain Kirk

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Zitat:

Wie geht das aber bei einem Aut?

Genauso wie in jeder anderen Gruppe auch: So lange potenzieren bis man das erste mal auf 1 kommt.

Zitat:

Weil $\begin{eqnarray*} Q( \alpha ) \end{eqnarray*}$ den Grad 4 hat.

Eigentlich hat ein Körper keinen Grad, nur eine Körpererweiterung. Und, nein.
Weil man damit die erste Gruppe ausschließen kann(!)

22.06.2015, 20:37

aleos

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Das Potenzieren von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ endet unter keinen Umständen auf 1, sofern das Bild selbst nicht 1 ist. Zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \phi(7) = 7 \end{eqnarray*}$
Da kann ich doch potenzieren wie ich will und ich komme nicht auf 1. Deshalb verstehe ich nicht, wie ich die Ordnung eines Automorphismus' berrechne.

Was meinst du mit erster Gruppe ausschließen?

22.06.2015, 20:45

Captain Kirk

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Zitat:

Das Potenzieren von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ endet unter keinen Umständen auf 1, sofern das Bild selbst nicht 1 ist. Zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \phi(7) = 7 \end{eqnarray*}$

Ordnung ist eine Eigenschaft eines Elements einer Gruppe.
Daher meine ich mit "1" das neutrale Element der entsprechenden (multipliaktiv geschriebenen ) Gruppe.

Zitat:

Was meinst du mit erster Gruppe ausschließen?

Du hast zwei Möglichkeiten. Ich möchte damit zeigen, dass eine der Möglichkeiten in Wirklichkeit keine ist.

22.06.2015, 20:58

aleos

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Das Potenzieren von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ endet unter keinen Umständen auf 1, sofern das Bild selbst nicht 1 ist. Zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \phi(7) = 7 \end{eqnarray*}$

Ordnung ist eine Eigenschaft eines Elements einer Gruppe.
Daher meine ich mit "1" das neutrale Element der entsprechenden (multipliaktiv geschriebenen ) Gruppe.

Hmm, ich frag mal weiter.
$\begin{eqnarray*} \phi(\alpha)^2 = (-\alpha)^2 = \alpha^2 \end{eqnarray*}$
Wieso soll das Ordnung 2 haben? Du hast das ja oben geschrieben.

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Was meinst du mit erster Gruppe ausschließen?

Du hast zwei Möglichkeiten. Ich möchte damit zeigen, dass eine der Möglichkeiten in Wirklichkeit keine ist.

Genau das war ja auch meine Idee zu Beginn (dass isomorph zu einen der beiden genannten Gruppen ist (siehe erster Post) ).

22.06.2015, 21:08

Captain Kirk

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Zitat:

Hmm, ich frag mal weiter.
$\begin{eqnarray*} \phi(\alpha)^2 = (-\alpha)^2 = \alpha^2 \end{eqnarray*}$

Das ist hat mit der Aufgabe nichts zu tun.

Es gibt hier darum die Abbildung zweimal anzuwenden ( $\begin{eqnarray*} \phi^2(\alpha) \end{eqnarray*}$ ), nicht darum die Zahl $\begin{eqnarray*} \phi (\alpha) \end{eqnarray*}$ zu potenzieren.

Ich hoffe der Unterschied ist klar?

Zitat:

Genau das war ja auch meine Idee zu Beginn (dass isomorph zu einen der beiden genannten Gruppen ist (siehe erster Post) ).

Wir reden hier scheinbar massiv aneinander vorbei, was wohl am mangelnden Gruppentheorie Kenntnissen deinerseits liegt. (was ein Problem beim Befassen mit Galoistheorie ist, das solltest du also schleunigst nachholen)

Die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /2 \times \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ hat kein Element der Ordnung 4.
Eine Gruppe der Ordnung n mit einem Element der Ordnung n ist automatisch(!) isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung n.
Nichts anderes als diese elementare Tatsache will ich hier ausnutzen.

22.06.2015, 22:15

aleos

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Du hattest von Potenzieren gesprochen, daher meine Idee. Außerdem hast du auch gesagt, dass es analog zu Elementen aus $\begin{eqnarray*} F_p \end{eqnarray*}$ funktioniert.

Ich hatte dich extra gefragt, wie das bei Automorphismen funktioniert. Einfacher wäre es gewesen, wenn du mir gesagt hättest, dass ich die hier die Funktionen verknüpfen muss. Denn nun verstehe ich wie du auf Ordnung 2 kommst:

$\begin{eqnarray*} (\phi \circ \phi) (\alpha) = \phi( \phi(\alpha) ) = \phi( -\alpha ) = - \phi(\alpha) = - - \alpha = \alpha \end{eqnarray*}$

Und für das Beta gilt:
$\begin{eqnarray*} (\phi \circ \phi) (\beta) = \phi( \phi(\beta) ) = \phi( -\beta ) = ... = \beta \end{eqnarray*}$ (analog zum Oberen)

Jetzt weiß ich, dass die Elemente Ordnung zwei haben. Und nun?

22.06.2015, 22:29

Captain Kirk

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Zitat:

Du hattest von Potenzieren gesprochen,

Und du sprachst von Aut.
Von daher dachte ich es wäre klar, dass der Automorphismus zu potemzieren ist.

Zitat:

Außerdem hast du auch gesagt, dass es analog zu Elementen aus $\begin{eqnarray*} F_p \end{eqnarray*}$ funktioniert.

Das ist habe ich definitiv nicht gesagt. Die endlichen Körper hast du ins Spiel gebracht, die haben hiermit auch nicht viel zu tun. Daher habe ich dazu gar nichts gesagt.

Zitat:

Ich hatte dich extra gefragt,

Und ich extra geantwortet.

Zitat:

Einfacher wäre es gewesen, wenn du mir gesagt hättest, dass ich die hier die Funktionen verknüpfen muss

Wäre es wohl. Nur ich ging davon aus, dass das ich das nicht explizit ausführen muss.
Ich sprach mehrfach von der Gruppe der Automorphismen und Ordnung des Autom.. Und die ist immer mit Hintereinanderausführung gemeint.

Einfacher wäre es auch gewesen statt mit dem relativ patzigen

Zitat:

Geht es vielleicht etwas konkreter?

zu beginnen, mal konkret zu sagen was unklar ist.
Das gab's aber trotz Nachfragen meinerseits erst tröpfenweise.

Zitat:

Jetzt weiß ich, dass die Elemente Ordnung zwei haben

Elemente, also Plural?
Für die Abbildung muss sowohl $\begin{eqnarray*} \phi (\alpha) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \phi (\beta) \end{eqnarray*}$ angegeben werden.

Zitat:

Und nun?

Jetzt suchst du eine Abbildung der Ordnung 4.

22.06.2015, 22:50

aleos

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Jetzt suchst du eine Abbildung der Ordnung 4.

Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben mit welchem Element ich das machen soll? Alpha und Beta haben in dem Automorphismus die Ordnung zwei, die können es also nicht sein. Ich dachte jetzt an $\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \beta = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ , aber das habe ich bisher gar nicht definiert. Außerdem würde das wieder Ordnung zwei haben, wenn ich das ähnlich definiere wie Alpha und Beta, also $\begin{eqnarray*} \phi(\sqrt{5}) = -\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ .

22.06.2015, 22:59

Captain Kirk

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Zitat:

Alpha und Beta haben in dem Automorphismus die Ordnung zwei,

Das ist absoluter Unfug. Der Satz macht inhaltlich keinerlei Sinn. Sowas wie Ordnung in einem Automorphismus gibt es nicht.

Wir sind in der Automorphismengruppe.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} G(F\slash K) = \{ \phi \in Aut(F) | \phi|_K = id_K\} \end{eqnarray*}$

Wir betrachten die Elemente dieser Gruppe, das sind Automorphismen, also Abbildungen.
Um die geht es und um deren Ordnung in dieser Gruppe.
Nur um die.

Bevor dir das nicht klar wird kann ich hier erzählen was ich will es kommt sowieso nicht oder falsch an.

Zitat:

Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben mit welchem Element ich das machen sol

Die Autom. sind durch die Bilder von alpha und beta eindeutig festgelegt. Geh im schlimmsten Fall alle Möglichkeiten durch. (was wohl eh eine sinnvolle Übung zum Verständnis wäre)

22.06.2015, 23:09

aleos

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Was meinst du mit allen Möglichkeiten durchgehen?

Meinst du alle mögliche Elemente miteinander multiplizieren?

22.06.2015, 23:14

Captain Kirk

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Die Galoisgruppe eines Polynoms bildet Nullstellen auf Nullstellen ab.
Die Möglichkeiten sind also jeweils die Nullstellen als Bilder.

Zitat:

Meinst du alle mögliche miteinander multiplizieren?

Definitiv nein.

22.06.2015, 23:20

aleos

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Ok, dann meinst du also:
$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \alpha = 5 + 2 \sqrt{5}<br /> \beta \cdot \beta = 5 - 2 \sqrt{5}<br /> \alpha \cdot \beta = \sqrt{5}<br /> -\alpha \cdot \beta = \alpha \cdot (-\beta) = -\sqrt{5}<br /> \end{eqnarray*}$

Und jetzt wieder alle Bilder der Nullstellen mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} bzw. -\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ mutliplizieren?

22.06.2015, 23:39

Captain Kirk

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Zitat:

Ok, dann meinst du also:

Nein, das meine ich nicht.
Das ist so ziemlich das exakte Gegenteil von dem was ich im letzten Post schrieb.

22.06.2015, 23:44

aleos

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Joa, dann raffe ich es nicht.
Wäre nett, wenn du mal zeigen könntest was du meinst. Ich vermute das es nicht viel bringt mich weiter zappeln zu lassen.

22.06.2015, 23:56

Captain Kirk

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Zitat:

Wäre nett, wenn du mal zeigen könntest was du meinst.

Ich finde diesen Satz frech bis unverschämt, insdesondere das "mal".
ich zeige hier die ganze Zeit was ich meine.

Zitat:

Ich vermute das es nicht viel bringt mich weiter zappeln zu lassen.

ich lass dich nicht zappeln ich versuche dir zu erklären wie man hier vorgeht. Ich vermute mittlerweile, dass du eine Lösung nicht verstehen wirst
Und was hab ich davon dir die Lösung hinzuschreiben?

23.06.2015, 00:03

aleos

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Das hat nichts mich frech zu tun. Ich habe versucht zu verstehen was du sagst und das umzusetzen, leider scheitere ich, da es nicht verstehe. Was ist daran bitte frech? Und du kannst nicht behaupten ich hätte es nicht versucht, sonst würde ich hier nicht immer noch posten.

Wenn ich nach so vielen Erklärungen es nicht verstehe, ist es am sinnvollsten zu zeigen was man meint. Häufig steht man nur auf dem Schlauch. Was für dich tirival erscheint muss nicht für jemanden anderen so einfach sein.

Mit einer Lösung würdest du mir zumindest zeigen was ich hätte tun sollen. Und dann kann ich auch versuchen zu verstehen warum das so ist. Ob ich darin erfolgreich sein werde ist natürlich ein anderer Schuh.

Aber wenn du meinst, dass ich frech bin und du die Lösung für dich behalten magst, gerne.

23.06.2015, 00:13

Captain Kirk

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Zitat:

Was ist daran bitte frech?

Der Satz ist frech, weil du damit meine Bemühungen kleinredest. Auch hier dachte ich mein zweiter Satz stellt das klar. Auch hier liest du scheinbar wieder Sachen in meinen Post die nicht drinstehen und die die drinstehen liest du nicht.

Zitat:

Was für dich tirival erscheint muss nicht für jemanden anderen so einfach sein.

Das ist eine Unterstellung. Ich habe nie gesagt - oder auch nur gedacht - dass das trivial wäre.

Zitat:

Aber wenn du meinst, dass ich frech bin und du die Lösung für dich behalten magst, gerne.

Passiv-aggressiv für Anfänger?
Bist jetzt habe ich übrigens auch nicht gesagt, dass du frech bist. Ich bezeichnete deinen Satz als frech, nicht dich.

Weißt du wie du mich davon überzeugen könntest nicht frech zu sein:
Einfach mal ein Kleines " Danke für deine Zeit" oder ähnliches.

23.06.2015, 00:25

aleos

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Natürlich, danke für die Zeit die du freiwillig opferst um Leuten wie mir versuchst etwas zu erklären. Das steht natürlich über alles. Ich mache das ja auch selbst, hin und wieder, wenn ich mal was kann.

Trotzdem ist es häufig hilfreicher ab und zu eine Lösung zu posten statt die ganze Zeit darauf zu drängen, dass man selbst darauf kommt.

In der Tat habe ich einiges missverstanden in deinem Post, sry. Dennoch wirkt es, als ob du unbedingt möchtest, dass ich die Lösung poste ... auf Brechen und Biegen. Du solltest bis hierhin verstanden habe, dass ich es nicht weiß. Da bringen mich Tipps und Tricks nicht weiter.

Sei's drum, ich frage meinen Tutor wie die Aufgabe zu lösen ist.

23.06.2015, 09:58

ollie3

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hallo,
hatte das gestern mitverfolgt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@aleos: um dich zu erlösen und die sache abzuschliessen, die gesuchte galoisgruppe
ist natürlich Z2x Z2, man nennt sie auch V4, die kleinsche vierergruppe.
Worauf captain kirk hinauswollte, ist das hier kein element aus der automorphismengruppe die ordnung 4 hat. Die 4 nullstellen unterscheiden sich doch
nur mit dem vorzeichen, einmal vor der wurzel und einmal in der wurzel.
Die gruppe kann man nun so beschreiben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4 \\1&2&3&4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&1&3&4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&2&3&4 \\1&2&4&3 \end{pmatrix},<br /> \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&1&4&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn du jetzt die einzelnen permutationen potenzierst, erkennst du, das ein elment
die ordnuing 1 hat und die übrigen die ordnung 2.
gruss ollie3

23.06.2015, 10:09

Captain Kirk

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@ollie3:

Zitat:

Worauf captain kirk hinauswollte, ist das hier kein element aus der automorphismengruppe die ordnung 4 hat..

Schreib ich eiegntlich chinesisch oder ist irgendwie Umkehrtag oder sowas?

Zitat:

Jetzt suchst du eine Abbildung der Ordnung 4.

Zitat:

die gesuchte galoisgruppe
ist natürlich Z2x Z2, man nennt sie auch V4, die kleinsche vierergruppe.

Das ist sie natürlich nicht.

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