Integral gleich null

21.06.2015, 07:12

Kimyaci

Integral gleich null

Woran erkennt man, dass folgendes Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} x^3 \cdot e^{-x^2} dx = 0 \end{eqnarray*}$

gleich null sein muss? Ohne großartig zu rechnen.

21.06.2015, 07:22

JesusChristus

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An der Symmetrie.

21.06.2015, 08:16

Kimyaci

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Könntest du erklären was du damit meinst? Bzw. warum ist das Integral aus dem Produkt einer symmetrischen und unsymmetrischen Funktion null?

21.06.2015, 08:24

JesusChristus

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Naja, was muss denn anschaulich passieren, damit das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty x^3e^{-x^2}\, dx=0 \end{eqnarray*}$

ist.
Dann muss die Fläche unterhalb der x-Achse gleich der Fläche oberhalb der x-Achse sein.
Das ist der Fall, wenn man eine punktsymmetrische Funktion über den "inversen Grenzen" integriert, also etwa von -1 bis 1 oder -2 bis 2.
Du hast nun nunmal $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Bzw. warum ist das Integral aus dem Produkt einer symmetrischen und unsymmetrischen Funktion null?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ ist punktsymmetrisch ist

$\begin{eqnarray*} g(x)=e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ wirklich "unsymmetrisch"?

Welche Symmetrie weist

$\begin{eqnarray*} h(x)=x^3e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ auf? Wie zeigst man punktsymmetrie?

21.06.2015, 08:34

Kimyaci

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$\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ ist achsensymmetrisch*, nicht unsymmetrisch - sorry. Die Funktion h(x) ist punktsymmetrisch,da

$\begin{eqnarray*} - h(x) = h(-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - x^3 e^{-x^2} = (-x)^3 e^{-(-x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - x^3 e^{-x^2} = - x^3 e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Und damit ist das Integral null. Danke habs verstanden! smile

21.06.2015, 15:02

Guppi12

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Anmerkung: damit man so argumentieren kann, muss man vorher sicherstellen, dass das Integral überhaupt existiert, ansonsten funktioniert dieses Vorgehen natürlich nicht. Vergleiche etwa mit $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \sin(x) dx \end{eqnarray*}$ .

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