stabile Verteilung in Abhängigkeit von einer Variablen innerhalb der Matrix

21.06.2015, 11:53

dagoni

stabile Verteilung in Abhängigkeit von einer Variablen innerhalb der Matrix

Meine Frage:
Moin,Moin,

ich soll in einer Matrix, die eine Populationsentwicklung abbilden soll, eine Variable d bestimmen, sodass sich eine stabile Verteilung ergibt. Die Matrix sieht folgendermaßen aus:

[attach]38490[/attach]

Kann mir jemand wenigstens einen Ansatz liefern, um diese Aufgabe zu lösen. Mir sind leider die Ideen ausgegangen.

Meine Ideen:
Ich habe versucht es mit einem Gleichungssystem zu lösen. Dabei habe ich 0,2 für d herausbekommen. Das ergab allerdings keine stabile Verteilung.

21.06.2015, 12:18

Bjoern1982

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Besser wäre es vielleicht, wenn du selbst deinen Rechenweg postest, sonst kann man ja nicht sehen, wo der Fehler liegt.

Der Ansatz für dein LGS ist, wie immer bei einer stabilen Verteilung bei gegebener Übergangsmatrix M :
$\begin{eqnarray*} M \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.06.2015, 12:27

dagoni

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Das Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus:

I 4z-x=0
II 0,5x-y=0
III 0,4y+(d-1)z=0

I+2*II 4z-2y=0 II'

5*III+II' 5(d-1)z+4z=0
(5d-5+4)z=0

Da ich davon ausgehe, dass z ungleich 0 ist, weil sonst d jeden Wert annehmen kann, muss 5d-1=0 gelten.

Somit ist d=0,2

Habe ich da was falsch gemacht?

21.06.2015, 13:53

Huggy

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Da Bjoern gerade nicht online ist:

Bis jetzt ist alles richtig!
Jetzt frage ich mich, weshalb du meinst, es gäbe keine stabile Verteilung. Wenn du für z einen beliebigen Wert ungleich Null ansetzt, ergibt das Gleichungssystem doch die dazu passenden Werte für x und y, bei denen die Population stabil ist.

21.06.2015, 15:31

dagoni

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Super, vielen Dank. Da habe ich wohl nicht bis zum Ende gedacht. Fehler eins: den Vektor nicht ausgerechnet. Fehler zwei die Matrix nicht oft genug multipliziert. Jetzt bin ich wieder auf dem richtigen Weg.

21.06.2015, 15:43

Huggy

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Zitat:

Original von dagoni
Fehler zwei die Matrix nicht oft genug multipliziert.

Diese Bemerkung verstehe ich nicht Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ deine Matrix mit $\begin{eqnarray*} d = 0.2 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} p=(x,y,z) \end{eqnarray*}$ eine stabile Population, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} M \cdot p = p \end{eqnarray*}$

Da muss die Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht mehrfach multipliziert werden.

21.06.2015, 15:51

dagoni

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Ich habe die Matrix nur zur Prüfung mehrfach multipliziert. Ist der Gedankengang falsch?

21.06.2015, 16:25

Huggy

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Was hast du da herausbekommen? Mir ist der Sinn der Übung nicht klar. Es ist zwar

$\begin{eqnarray*} M \cdot (M \cdot p)=(M \cdot M)\cdot p \end{eqnarray*}$

Aber deshalb gilt noch lange nicht:

$\begin{eqnarray*} M \cdot M = M \end{eqnarray*}$

21.06.2015, 16:30

dagoni

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Ich habe geprüft, ob sich die Matrix irgendwann nicht mehr ändert. Ist das nicht auch ein Zeichen für eine stabile Verteilung?

21.06.2015, 16:51

Huggy

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Tut sie denn das? Mir ist kein entsprechender Satz geläufig. Aber das will ich nichts heißen. So tief bin ich mit der Materie nicht vertraut.

21.06.2015, 18:37

Bjoern1982

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Zitat:

Ich habe geprüft, ob sich die Matrix irgendwann nicht mehr ändert. Ist das nicht auch ein Zeichen für eine stabile Verteilung?

Wenn du es mit einer stochastischen Übergangsmatrix zu tun hast (Austauschprozess), dann kannst du in der Tat in der so genannten Grenzmatrix ein Einpendeln der Einträge beobachten und daran dann auch eine (prozentuale) stabile Verteilung ablesen.
Populationsmatrizen sind aber eher selten stochastisch. Augenzwinkern

Was du als "Probe" halt machen kannst, ist, dass du eben mal schaust, was denn rauskommt, wenn du in deine Matrix für d=0,2 einsetzt und sie mit einer möglichen stabilen Verteilung multiplizierst.

21.06.2015, 18:50

Huggy

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Was du als "Probe" halt machen kannst, ist, dass du eben mal schaust, was denn rauskommt, wenn du in deine Matrix für d=0,2 einsetzt und sie mit einer möglichen stabilen Verteilung multiplizierst.

Weshalb "möglichst stabil"? Man kann doch einfach die "stabile Verteilung" einsetzen.

21.06.2015, 19:21

Bjoern1982

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Das steht da so nicht.
Da es für d=0,2 unendlich viele Lösungen und damit unendlich viele, mögliche, stabile Verteilungen gibt, könnte man sich ja mal eine davon rauspicken und probieren, was passiert, wenn man diesen Vektor mit der Matrix multipliziert.
Dass man das Spielchen dann auch mit allen Vielfachen dieser rausgepickten Verteilung tun kann, kann man sich dann auch noch leicht klarmachen.
Zumindest hatte ich den Eindruck, dass das zum Verständnis des Begriffs "stabile Verteilung" für den Fragesteller geeignet sein könnte.

21.06.2015, 19:27

Huggy

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Eigentlich gibt es nur eine stabile Verteilung. Alle stabilen Verteilungen gehen aus einer, z. B. der mit $\begin{eqnarray*} z = 1 \end{eqnarray*}$ , durch Multiplikation mit einer Konstanten hervor.

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