Partialbruchzerlegung

21.06.2015, 13:41

RB33

Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Hallo ich habe gerade probleme bei dieser Regelungstechnik Aufgabe den Bruch in der 1 ordnung zu verlegen .

Hat jemand tipps für mich ?

Meine Ideen:
leider noch nicht

21.06.2015, 14:37

Huggy

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RE: Partialbruchzerlegung
Mit den regelungstechnischen Aspekten der Frage dürfte nur wenige Mathematiker vertraut sein. Mathematisch geht es zunächst mal um die Partialbruchzerlegung des gegebenen Bruchs. Welches Problem hast du dabei?

21.06.2015, 15:17

RB33

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Ich wäre auch mit einer nur mathematischen Hilfe schon einigermassen zufrieden Big Laugh

Ich versuchs mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2s^3-20s^2-58s-28}{(s+1)*(s+2)*(s+4)*(s+5)} = \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s+2)}+\frac{C}{(s+4)} +\frac{D}{(s+5)} \end{eqnarray*}$

Würde der Ansatz so stimmen ?

21.06.2015, 15:20

Huggy

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Der Ansatz ist korrekt.

21.06.2015, 15:22

RB33

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Was muss ich jetzt genau als nächstes machen ,da habe ich immer bisse so meine Probleme Big Laugh

21.06.2015, 15:35

Huggy

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Als erstes multiplizierst du deinen Ansatz mit dem Nenner der linken Seite, der ja gleichzeitig der Hauptnenner der rechten Seite ist. Auf der linken Seite bleibt dadurch nur der Zähler stehen. Auf der rechten Seite kannst du bei jedem Summnanden den Nenner wegkürzen. Es bleibt dann auf der rechten Seite eine Summe ohne Brüche. Mach das mal. Multipliziere aber ansonsten noch nichts aus.

21.06.2015, 15:40

RB33

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$\begin{eqnarray*} -2s^3-20s^2-58s-28 = (s+1)*(s+4)*(s+5)+(s+1)*(s+4)*(s+5)+(s+1)*(s+2)*(s+5)+(s+1)*(s+2)*(s+4) \end{eqnarray*}$

Was kann ich nun machen .

Bin gerade ein wenig überfragt Big Laugh

21.06.2015, 15:42

RB33

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Nochmal korrigiert :

$\begin{eqnarray*} -2s^3-20s^2-58s-28 =A* (s+1)*(s+4)*(s+5)+B*(s+1)*(s+4)*(s+5)+C*(s+1)*(s+2)*(s+5)+D*(s+1)*(s+2)*(s+<br /> 4) \end{eqnarray*}$

Was kann ich nun machen .

21.06.2015, 16:00

wopi

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@Huggy sorry

damit du schon mal weitermachen kannst:

die vordere Klammer ist falsch und hinten ist ein Schreibfehler, es fehlt ein Faktor

bin wieder weg Wink

21.06.2015, 16:00

Huggy

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Die rechte Seite ist noch fehlerhaft. Betrachten wie mal den Summanden mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Nach der Multiplikation mit dem Nenner der linken Seite lautet er

$\begin{eqnarray*} \frac {A(s+1)(s+2)(s+4)(s+5)}{s+1}=A(s+2)(s+4)(s+5) \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} s+1 \end{eqnarray*}$ kürzt sich weg. Analog bei den Summanden mit B, C, D. Es ist aber immer ein anderer Faktor, der sich wegkürzt. Auf ein neues.

21.06.2015, 16:16

RB33

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$\begin{eqnarray*} -2s^3-20s^2-58s-28 =A* (s+2)*(s+4)*(s+5)+B*(s+1)*(s+4)*(s+5)+C*(s+1)*(s+2)*(s+5)+D*(s+1)*(s+2)*(s+<br /> 4) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen ?

21.06.2015, 16:40

Huggy

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Jetzt stimmt es.

Ein Weg wäre nun, die linke Seite auszumultiplizieren, alles nach Potenzen von s zu sortieren und einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite zu machen. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem für A, B, C, D, welches man dann löst.

Einfacher ist folgendes Vorgehen: Man setzt für s der Reihe nach die Nullstellen des Nenners der linken Seite ein. Die erste Nullstelle ist

$\begin{eqnarray*} s=-1 \end{eqnarray*}$

Die linke Seite rechnet man damit einfach aus. Auf der rechten Seite werden die Summanden mit B, C , D zu Null, weil diese den Faktor $\begin{eqnarray*} s+1 \end{eqnarray*}$ haben, welcher bei $\begin{eqnarray*} s = -1 \end{eqnarray*}$ Null ergibt. Den Faktor von A rechnet man aus. Man hat dann eine Gleichung, in der nur A vorkommt, die trivial zu lösen ist. Durch Einsetzen der anderen Nullstellen bekommt man analog B, C, und D.

21.06.2015, 17:46

RB33

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Ok ich nehme mal die erste Nullstelle s= -1

In welche Terme auf der rechten Seite setze ich das nun ein ?

Das verstehe ich gerade nicht?

21.06.2015, 18:04

Huggy

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Jetzt habe ich Probleme, deine Frage zu verstehen. Wenn man alle Summanden weglässt, die bei $\begin{eqnarray*} s = -1 \end{eqnarray*}$ Null werden, also die Summanden mit B, C und D, steht doch da:

$\begin{eqnarray*} -2s^3-20s^2-58s-28 =A* (s+2)*(s+4)*(s+5) \end{eqnarray*}$

Da ist auf beiden Seiten für $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ der Wert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

21.06.2015, 18:42

RB33

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Stimmt mein Partialbruch ?

1/(s-1) - 4/(s+2) + 2/(s+4) - 1/(s+5) = 0

21.06.2015, 18:46

Huggy

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Stimmt!
Und mit Latex geschrieben, würde es noch viel besser stimmen. Big Laugh

21.06.2015, 18:48

RB33

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Hast du auch vielleicht zum regelungstechnischen Teil tipps oder jemand anderer ?

Ansonsten danke.

ich glaube ich müsste jeden Teilbruch mit 1/s multiplizieren oder ?

21.06.2015, 18:56

Huggy

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Zitat:

Original von RB33
Hast du auch vielleicht zum regelungstechnischen Teil tipps oder jemand anderer ?

Ich nicht, es sei denn, du kannst daraus eine weitere mathematische Frage destillieren.
Falls jemand sonst, der mitliest, mehr sagen kann, so wird er sich hoffentich melden.

21.06.2015, 19:00

RB33

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Alles klar danke . Vielleicht meldet sich ja jemand anderer ?

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