Näherungsweise Bestimmung von Wurzeln

21.06.2015, 15:13

Saschius

Näherungsweise Bestimmung von Wurzeln

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard-Team!

Seit Wochen hänge ich an folgendem Problem:
Teilt man eine quadratische Fläche (z.B. 6^2) in einzelne Teilflächen ein (im Beispiel wären das 36 einzelne Teilflächen, so lässt sich damit näherungsweise die Wurzel bis 36 ziehen.
Man nimmt zunächst das nächstkleinere Quadrat und zieht davon die Wurzel. Übrig bleibt eine Restfläche in Form von einem umgekehrten "L". Diese Restfläche enthält die restlichen Einzelflächen bis zur gewünschten Wurzel und einige wenige leere Einzelflächen. Die restlichen Flächen im Zähler, die gesamte Fläche des "L" im Nenner ergibt die Dezimalzahl. Je größer die Gesamtfläche, desto genauer ist das Ergebnis nach dem Komma.
Tut mir Leid, es ist sehr schwer zu erklären.

Beispiel: sqrt(34)= sqrt(25)+ 9/11 = 5,82 // Exakt: 5,83.

Meine Ideen:
- Interallschachtelung (weiß leider nicht wie)
- eine von oben und unten konvergierende Folge
- Induktion
- Beweis zur h-Form (Hat mir eine Bekannte gesagt, leider kann ich damit nichts anfangen)

23.06.2015, 11:27

Saschius

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RE: Näherungsweise Bestimmung von Wurzeln
Falls dieses Thema falsch an dieser Stelle ist, kann es jemand verschieben? Wie man sieht bin ich neu hier und generell unvertraut mit Foren:-)
Es ist auf jeden Fall ziemlich wichtig, dass dieses Problem gelöst wird:-)

Lieben Gruß

23.06.2015, 12:14

HAL 9000

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In Formeln gefasst: Es geht um eine Näherung von $\begin{align*} \sqrt{n} \end{align*}$ , wobei bekannt sein mag $\begin{align*} k^2< n<(k+1)^2 \end{align*}$ . Dein Vorschlag ist

$\begin{align*} \sqrt{n} \approx k + \frac{n-k^2}{(k+1)^2-k^2}= k + \frac{n-k^2}{2k+1} \end{align*}$ .

So weit, so gut. Aber was ist denn nun die eigentliche Frage dazu: Wie gut diese Approximation ist? Oder was? verwirrt

Das wird wohl der Grund sein, warum bisher keiner geantwortet hat: Es fehlt schlicht die Frage. Augenzwinkern

24.06.2015, 12:45

Saschius

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Hallo HAL 9000,

genau. Mathematisch niedergeschrieben beschreibt es das Problem. Es geht weniger darum die Genauigkeit der Approximation zu beschreiben, sondern um den Beweis selbst, dass das mehr oder weniger gilt.
Wie ich in meinem ersten Beitrag geschrieben habe, habe ich verschiedene Ideen aber es hapert an der Umsetzung. Gleichzeitig habe ich noch geometrische Ansätze im Kopf. Letztlich ist die gesuchte Wurzel (Fläche) nichts anderes als eine zwischen einer kleineren und einer größeren Fläche eingeschachtelte Fläche. Legt man die kleinere und größere übereinander, so bleibt ein Rest, welcher dein beschriebenes (n-k²)/2k+1 beschreibt...

24.06.2015, 13:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Saschius
Es geht weniger darum die Genauigkeit der Approximation zu beschreiben, sondern um den Beweis selbst, dass das mehr oder weniger gilt.

Beschreibungen wie "mehr oder weniger" sind nichts, was man mathematisch zeigen kann.

Fakt ist, dass das ganze als Gleichung falsch ist, weswegen ich auch $\begin{align*} \approx \end{align*}$ statt $\begin{align*} = \end{align*}$ geschrieben habe. Und da es nun mal keine Gleichung, sondern nur eine Approximation ist, wiederhole ich meine Frage: Was genau - mathematisch hieb- und stichfest formuliert - soll für diese Approximation gezeigt werden?

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Ok, ein Start: Es sei $\begin{align*} n=k^2+r \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0\leq r\leq 2k+1 \end{align*}$ und wir betrachten den Abstand der Approximation zur wahren Wurzel, also $\begin{align*} \delta:= \sqrt{k^2+r} - \left(k + \frac{r}{2k+1} \right) \end{align*}$ .

Dann folgt mit dritter binomischer Formel

$\begin{align*} \delta = \frac{k^2+r-\left( k + \frac{r}{2k+1} \right)^2}{\sqrt{k^2+r} + k + \frac{r}{2k+1}} = \frac{r(2k+1-r)}{(2k+1)^2\left(\sqrt{k^2+r} + k + \frac{r}{2k+1}\right)} \geq 0 \end{align*}$

es ist also $\begin{align*} \sqrt{k^2+r} \geq k + \frac{r}{2k+1} \end{align*}$ , was für eine weitere Abschätzung des Nenners genommen werden kann:

$\begin{align*} \delta \leq \frac{r(2k+1-r)}{2(2k+1)(k(2k+1)+r)} \end{align*}$ .

Maximal (bei festem $\begin{align*} k \end{align*}$ ) wird der Fehler für $\begin{align*} r \end{align*}$ "in der Mitte", d.h. für $\begin{align*} r=k \end{align*}$ , das liefert

$\begin{align*} \delta \leq \frac{k(k+1)}{2(2k+1)(k(2k+1)+k)} = \frac{1}{4(2k+1)} \end{align*}$ .

In deinem Beispiel mit $\begin{align*} k=5 \end{align*}$ würde man den Maximalfehler also durch $\begin{align*} \frac{1}{44}\approx 0.02272 \end{align*}$ nach oben abschätzen. Tatsächlich gilt für $\begin{align*} n=30=5^2+5 \end{align*}$ dann auch

$\begin{align*} \sqrt{30}-\left( 5 + \frac{5}{11} \right) \approx 0.02268 \end{align*}$ ,

also ziemlich nah dran.

27.06.2015, 11:09

Saschius

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Hallo HAL!

Also meine Formulierung war etwas schwammig, das gebe ich zu, daher gilt nun folgende: Ich würde gerne Beweisen, dass das näherungsweise Wurzel ziehen auf diese Art hinreichend genau ist, besonders für größere Wurzeln.

Dein "Start" zeigt sehr gut den Maximalfehler, jedoch sind mir zwei Dinge nicht ganz klar:
1.) Warum die dritte binomische Formel?
2.) Deine Abschätzung ist klar aber wie kommst du auf den Nenner in deiner weiteren Abschätzung? Ich habs mehrfach versucht aber bin einfach nicht auf den Nenner gekommen..

Gruß

27.06.2015, 11:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Saschius
Ich würde gerne Beweisen, dass das näherungsweise Wurzel ziehen auf diese Art hinreichend genau ist, besonders für größere Wurzeln.

Ich sehe da keine substanzielle Verbesserung - nach wie vor nichts greifbares, nach wie vor schwammig. unglücklich

Zitat:

Original von Saschius
1.) Warum die dritte binomische Formel?

Um den Zähler wurzelfrei zu bekommen - ein durchaus übliches Verfahren.

Zitat:

Original von Saschius
2.) Deine Abschätzung ist klar aber wie kommst du auf den Nenner in deiner weiteren Abschätzung?

Bitte konkret benennen, welchen Schritt du meinst.

27.06.2015, 11:40

Saschius

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Hallo HAL!

zu 1:

Du hast anfangs die gesuchte Wurzel als "n" bezeichnet. Ich würde gerne beweisen, dass für n->unendlich der Abstand delta zwischen der gesuchten Wurzel n und dem Fehler gegen 0 geht.

zu 3:

Ich meine diesen Nenner: (2k+1)²*(sqrt(k²+r)+r/(2k+1)
zu diesem: 2(2k+1)(k(2k+1)+r).

Nutzbar macht man sich ja sqrt(k²+r)>=k+r/(2k+1). Da delta kleiner als die neue Abschätzung ist, muss der Nenner ja kleiner sein, als die von delta. Daher bin ich davon ausgegangen, dass du für den Schritt k+r/(2k+1) ersetzt hast. Oder?

27.06.2015, 11:46

HAL 9000

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Ganz normale Ungleichungsumformungen: Aus $\begin{align*} \sqrt{k^2+r} \geq k + \frac{r}{2k+1} \end{align*}$ folgt $\begin{align*} \sqrt{k^2+r} + k + \frac{r}{2k+1} \geq 2\left(k + \frac{r}{2k+1}\right) \end{align*}$ , außerdem sind beide Terme positiv, damit folgt im Nenner die Abschätzung

$\begin{align*} \frac{r(2k+1-r)}{(2k+1)^2\left(\sqrt{k^2+r} + k + \frac{r}{2k+1}\right)} \leq \frac{r(2k+1-r)}{(2k+1)^22\left(k + \frac{r}{2k+1}\right)} \end{align*}$ ,

anschließend wird nur noch innerhalb des Nenners $\begin{align*} (2k+1)\left(k + \frac{r}{2k+1}\right) = k(2k+1)+r \end{align*}$ ausmultipliziert, um im Gesamtterm keine solchen lästigen Doppelbrüche mehr zu haben.

01.07.2015, 11:01

Saschius

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Hallo HAL!

Ich war leider die letzten Tage verhindert...
Vielen Dank für die ausführliche Darlegung!
Deine Umgleichungsumformung war zunächst nicht klar, jetzt jedoch schon:-)

Nun noch eine letzte Frage, quasi meine Frage 1 aus meinem letzten Beitrag:

"Du hast anfangs die gesuchte Wurzel als "n" bezeichnet. Ich würde gerne beweisen, dass für n->unendlich der Abstand delta zwischen der gesuchten Wurzel n und dem Fehler gegen 0 geht."

Um zu zeigen, dass diese Annäherung immer gilt und bei größeren Wurzeln sogar genauer wird, ist ein Beweis nötig. Ich habe am Anfang ein paar Ideen gepostet aber so richtig loslegen kann ich nicht...

LG

01.07.2015, 11:11

HAL 9000

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Irgendwie haben wir wohl aneinander vorbeigeredet: Was denkst du denn, was aus der eben bewiesenen Eingrenzung

$\begin{align*} 0\leq \delta_n \leq \frac{1}{4(2k+1)} \end{align*}$

für $\begin{align*} k\to \infty \end{align*}$ (was sich ja aus $\begin{align*} n\to \infty \end{align*}$ mit $\begin{align*} n=k^2+r \end{align*}$ mittelbar ergibt) direkt folgt?

03.07.2015, 14:17

Saschius

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Ach ja...

Was ich da gesehen bzw. nicht gesehen habe, ist mir schleierhaft!

Vielen dank HAL. Du hast mir sehr weitergeholfen!

Lg Saschius

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