f(x) = x^2 auf [1,2]

21.06.2015, 16:06	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x) = x^2 auf [1,2] Meine Frage: Hallo Leute, ich betrachte die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [1,2] \end{eqnarray}$ . Nun möchte ich lokale und globale Extrema bestimmen. Natürlich ist klar, dass über $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ nur die Extrema im Inneren des Definitionsbereichs gefunden werden können und da gibt es überhaupt keine, weder lokale noch globale, lässt sich zum Beispiel über die strenge Monotonie begründen. Nun betrachte ich den Rand. Auf dem Rand habe ich die Funktionswerte 1 und 4. Wegen $\begin{eqnarray} f(x) \geq f(1) = 1 \ \forall x \in [1,2] \end{eqnarray}$ ist dann bei x=1 ein globales Minimum und wegen $\begin{eqnarray} f(x) = 4 \geq f(x) \ \forall x \in [1,2] \end{eqnarray}$ ist bei x=2 ein globales Minimum. Nun stellt sich mir die Frage, ob diese Randextrema auch lokale Extrema sind. Ich würde diese Frage jetzt mit Ja beantworten. Da folgendes gilt. Ich betrachte eine Umgebung von $\begin{eqnarray} x = 1 \in [1,2] \end{eqnarray}$ , wegen der Teilraumtopologie hat diese Umgebung die Form $\begin{eqnarray} U_{\epsilon}(1) = [1,\epsilon) \end{eqnarray}$ Nun gilt für alle x in dieser Umgebung: $\begin{eqnarray} f(1) \leq f(x) \ \forall x \in U_{\epsilon}(1) \end{eqnarray}$ Damit ist dieses Randextrema ja auch ein lokales Extrema. (Frage1 - stimmt das?) Mir ist klar, dass lokale Extrema keine globalen sein müssen. Aber gibt es auch Fälle, bei denen die globalen keine lokalen Extrema sind? (Frage 2 - gibt es solche Fälle?) Noch eine Frage (Frage3), Wenn ich einen isolierten Punkt im Def.bereich habe, zum Beispiel: $\begin{eqnarray} D_f = [1,2] \cup {3} \end{eqnarray}$ dann gibt es ja Umgebungen von $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ die ausser der Drei nichts enthalten, dann sind ist 3 ja sowohl ein lokales Minimum als auch ein Lokales Maximum, sehe ich das richtig? Meine Ideen: Oben steht schon alles
21.06.2015, 16:22	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = x^2 auf [1,2] ein globaler Extremwert ist immer ein entsprechender lokaler EW Mit dem singulären Punkt hast du recht, genauer ist 3 ... eine Minimum(Maximum-)stelle das Minimum ist f(3)
21.06.2015, 16:28	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = x^2 auf [1,2] Das Minimum ist f(3) ??? Verstehe ich nicht, es gilt doch f(3) = 9 und das ist sogar mit Abstand der größte Funktionswert der auftritt.
21.06.2015, 16:31	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = x^2 auf [1,2] ich meinte natürlich lokales Minimum (Maximum) nicht 3 sondern f(3) zufällig ist f(3) in der Beispielfunktion auch ein giobales Maximum
21.06.2015, 16:34	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = x^2 auf [1,2] Also wenn 3 ein isolierter Punkt ist, so wie am schluss ist, dann ist bei x=3 eine s.o.g Minimum/Maximum Stelle und 3 somit ein lokales Minimum und ein lokales Maximum und zudem ist bei x=3 ein globales Maximum. Spannend, dass also ein lokales Minimum ein globales Maximum sein kann
21.06.2015, 16:37	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = x^2 auf [1,2] ist schon bei f(x) = konstant so Gilt dort für alle Elemente aus D
Anzeige

21.06.2015, 16:44	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x) = x^2 auf [1,2] stimmt aber triviale Fälle sind ja nicht so spannend

1

Verwandte Themen