Dichte, Erwartungswert 2ZV

21.06.2015, 18:13

Moyo

Dichte, Erwartungswert 2ZV

hallo liebe Leute,

meine Aufgabe lautet

Die stetigen ZVen X und Y besitzen die gemeinsame Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = (2/495)*(2xy+3x^2) , [0,3]x[0,5] \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie die Dichte der Zufallsvariablen X+Y
b)Berechnen Sie E((X+Y)^2)
c)Berechnen Sie E(X*Y^2)

muss ich für a) und b) die faltungsformel verwenden und Y = X-Z setzn?
und kann ich bei c) ganz normal den erwartungswert berechnen indem ich xy^2*f(x,y) berechne? oder brauch ich dort auch die faltung?

24.06.2015, 23:24

Nullmenge

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RE: Dichte, Erwartungswert 2ZV
Hallo,

Wie meinst du das mit Y=X-Z? Erstmal ist die Frage nach den Randdichten:

$\begin{eqnarray*} f_X=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\ \mathrm dy \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f_Y=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\ \mathrm dx \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann a) geklärt. Für b) brauchen wir die Dichte der Summe von X und Y. Dazu nimmt man in der Tat die Faltung:

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}=\int\limits_{-\infty}^\infty f_X(\tau)f_Y(x-\tau)\ \mathrm d\tau \end{eqnarray*}$

Den Erwartungswert dieser Dichte dann einfach per Definition des Erwartungswertes von stetigen Zufallsvariablen berechnen.

Bei c) bin ich mir nicht ganz sicher, aber ich würde es so machen wie du.

25.06.2015, 08:22

HAL 9000

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Ich würde auch bei b) mit der Ausgangsdichte statt der Faltungsdichte arbeiten, denn letztere ist (wie sich bei a) herausstellen wird) einfach zu umständlich zu handhaben im Vergleich mit dem übersichtlichen $\begin{align*} \int\limits_0^5 \int\limits_0^3 (x+y)^2 f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Nullmenge
$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}=\int\limits_{-\infty}^\infty f_X(\tau)f_Y(x-\tau)\ \mathrm d\tau \end{eqnarray*}$

Das stimmt nur für unabhängige $\begin{align*} X,Y \end{align*}$ , was hier nicht der Fall ist. Im hier vorliegenden allgemeineren Fall ist die Formel

$\begin{align*} f_{X+Y}(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(\tau, x-\tau) ~ \dd\tau \end{align*}$

anzuwenden.

25.06.2015, 09:18

Nullmenge

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Selbst wieder was gelernt. Danke Freude

30.06.2015, 18:13

Moyo

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entschuldigt dass ich so lang nich reingeschaut habe

a) bedeutet also einfach nur die randdichten zu addieren?

b) hab ich gelöst indem ich E((X+Y)^2) = E(X^2)+2*E(X*Y)+E(Y^2) berechnet habe und

c) schon wie angedeutet also alles ohne die faltungsformel

30.06.2015, 18:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Moyo
a) bedeutet also einfach nur die randdichten zu addieren?

Es ist mir unverständlich, wie du nach den beiden Beiträgen von Nullmenge und mir auf diese Verrücktheit kommst. Finger1

Da steht klar und deutlich ein Faltungsintegral, was zu berechnen ist.

P.S.: Die Summe zweier Dichten kann übrigens niemals die Dichte irgend einer Zufallsgröße sein, denn das Integral über eine solche Summe ergäbe ja 1+1=2 als Gesamtwahrscheinlichkeit... irgendwie ziemlich blöd, oder? Augenzwinkern

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