Menge der stetigen Funktionen von Q nach R

21.06.2015, 18:19

steviehawk

Menge der stetigen Funktionen von Q nach R

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} |\mathcal C(\mathbb Q,\mathbb R)| = |\mathbb R| \end{eqnarray*}$

Ich brauche dies um zu zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} |\mathcal C(\mathbb R,\mathbb R)| = |\mathbb R| \end{eqnarray*}$

mit obigem gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} |\mathcal C(\mathbb R, \mathbb R)| \stackrel{*}{\leq} |\mathcal C(\mathbb Q, \mathbb R)| = \mathbb R \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ gilt wegen der injektiven Abbildung: $\begin{eqnarray*} \phi(f) = f_{|\mathbb Q} \end{eqnarray*}$

die konstanten Funktionen liefern mir die Injektion: $\begin{eqnarray*} \psi(x) = f_x = x \forall t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ daher gilt natürlich $\begin{eqnarray*} |\mathbb R| \leq \mathcal C(\mathbb R,\mathbb R) \end{eqnarray*}$

Mir fehlt also für den Beweis, dass es überabzählbarviele stetige Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt nur die Aussage über die stetigen Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich meine mich zu erinnern, dass ich mal gelesen habe, dass man dies aus $\begin{eqnarray*} |\mathbb N| = |\mathbb Q| \end{eqnarray*}$ und der Information, dass die Menge aller Folgen überabzählbar ist folgern kann.

Ich verstehe aber nicht wie smile

Danke für die Hilfe

21.06.2015, 19:03

ollie3

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RE: Menge der stetigen Funktionen von Q nach R
hallo stewie,
na die sache ist doch klar:
Das N und Q gleichmächtig sind, weisst du (das war die sache mit dem cantorschen
diagonalverfahren), und da man jede funktion von Q nach R deswegen auch als
folge schreiben könnte und es wie gesagt überabzählbar viele folgen gibt, folgt das
sofort daraus. Augenzwinkern

gruss ollie3

21.06.2015, 19:41

Guppi12

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Kurzer Einwurf:

Meinst du hier:

Zitat:

und es wie gesagt überabzählbar viele folgen gibt

nicht eher genau $\begin{eqnarray*} |\mathbb R| \end{eqnarray*}$ viele (reelle) Folgen?

21.06.2015, 20:16

steviehawk

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sorry da hab ich geschlampt smile

ich meinte es gibt genau $\begin{eqnarray*} |\mathbb R| \end{eqnarray*}$ relle Folgen.

Dass man jede Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Q \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch als Folge $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ schreiben kann, ist wegen $\begin{eqnarray*} |\mathbb N|= |\mathbb Q| \end{eqnarray*}$ ja eigentlich klar, aber dennoch hat mich das jetzt etwas verblüfft Big Laugh

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