Kostenfunktion, Kurvendiskussion

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21.06.2015, 18:54	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Kostenfunktion, Kurvendiskussion Problem: Die monatlichen Kosten für die Herstellung, eines bestimmten Bauteils betragen (in €): $\begin{eqnarray} K(x) = 0,00001x^3 -0,023x^2+24x+3300 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq 2000 \end{eqnarray}$ a.) Bestimme exakt und Näherungsweise über die Grenzkosten, wieviel bei einer gegebenen Produktion von 200, 800, 1500 Bauteilen, die nächste produzierte Einheit kosten würde. b.) Der Hersteller ist Monopolist und kann daher den Preis für den Bautel weitgehend vorgeben. Eine Marketing-Untersuchung erbrachte ein Kaufverhalten entsprechend der Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion) mit p(x) = -0,015 x + 39, wobei x die monatliche nachgefragte Stückzahl ist. Zeige, dass die gewinnmaximale monatliche Stückzahl nicht mit der erlösmaximalen Stückzahl übereinstimmt. c.) Bestimme den Preis, mit dem der Hersteller den größten Gewinn erziehlt. Idee: Ich fang mit a.) an, die anderen hab ich noch nicht versucht. a.) Die erste Ableitung der Kostenfunktion ist die Grenzkostenfunktion. $\begin{eqnarray} K(x) = 0,00001x^3 -0,023x^2+24x+3300 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K(x)' = 0,00003x^2 -0,046x+24 \end{eqnarray}$ jetz weiß ich nicht genau was ich machen soll, die Kosten der nächsten produzierten Einheit ist gefragt. Und ich soll das über die Grenzkosten bestimmen. Also bei 200, ist 201 gesucht. also: $\begin{eqnarray} K(201)' - K(200)' = -0,339 \end{eqnarray}$ ??? Ich weiß nicht, was ich hier jetz ausgrechnet habe ? Aber das sin wahrscheinlich nicht die Kosten der 201. Einheit.
21.06.2015, 19:04	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kostenfunktion, Kurvendiskussion die 'ungefähren' Kosten für die nächste (also die 201.) Einheit betragen K'(200) [achte mal auf die Position von ' ] K(201) - K(200) ist der genaue Wert
21.06.2015, 19:31	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm ok. Stimmt, ich bekomme dann die Steigung an dem Punkt heraus, und das nächste Stück kostet dann soviel wie die Steigung groß is. Aber wäre der Wert nicht bei K'(201) ? Warum such ich bei K'(200) ? b.) p(x) = -0,015 x + 39 Ok, also p(x) sagt aus, das der Preis mit steigender Menge immer kleiner wird. Die gewinnmaximale Stückzahl erhalte ich aus ..... weiß ich nicht, wahrscheinlich aus p(x). Aber wie finde ich jetz den maximalen Gewinn ? Mir is klar das Preis * Menge = Gewinn ist., oder ist das doch nur der Umsatz und ich muss dann die Kosten noch abziehen ?, helft mir
21.06.2015, 19:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Gewinn ist Umsatz (Erlös) - Kosten! $\begin{eqnarray} G(x) = E(x) - K(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(x) = x \cdot p(x) \end{eqnarray}$ Edit: @wopi, ich sah dich OFF, bin wieder weg .. mY+
21.06.2015, 19:58	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mythos hat dir die Gleichung für den Gewinn hingeschrieben! G(x) = x * p(x) - K(x) Ausrechnen und Maximum bestimmen.
21.06.2015, 20:03	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, aber wie bestimme ich das x ? So rein vom logischen her, denke ich der maximale Umsatz ist bei p(x) = ~ 20 Aber wie beweise ich das rechnerisch ?
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21.06.2015, 20:05	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst G(x) schon ausrechnen und dann mit G'(x) = 0 lokale das Maximum bestimmen. [sehr lästige Zahlen, ist mir schon klar :-)] dann machst du das gleiche mit E(x) (wenn du dann noch die Randwerte geprüft hast,) dann hast du die beiden x-Werte zum vergleichen
21.06.2015, 20:29	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuchs mal... $\begin{eqnarray} K(x) = 0,00001x^3 -0,023x^2+24x+3300 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(x) = -0,015 x + 39 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(x) = -0,015 x² + 39x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x) = (-0,015 x² + 39x) - (0,00001x^3 -0,023x^2+24x+3300) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x) =-0,00001x^3-0,038x²+63x+3300 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G'(x) =-0,00003x^2-0,076x+63 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -0,00003x^2-0,076x+63 = 0 \end{eqnarray}$ x1 = 658,027 x2 = -3191,36 Nur x1 ist möglich. $\begin{eqnarray} G''(x) =-0,00006x-0,076 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G''(658,027) =-0,00006 \cdot 658,027-0,076 = -0,115 \end{eqnarray}$ lokales Maximum bei x = 658,027 = gewinnmaximale monatliche Stückzahl. Jetzt wäre noch zu beweisen das: "Zeige, dass die gewinnmaximale monatliche Stückzahl nicht mit der erlösmaximalen Stückzahl übereinstimmt." *Edit hab ich schon, einfach den Hochpunkt aus E(x) berechnen.
21.06.2015, 20:35	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast bei G(x) leider vergessen, beim Auflösen der Minusklammer die Vorzeichen zu ändern Wenn wir die Ergebnisse Schritt für Schritt vergleichen, hast du viel weniger Arbeit!
21.06.2015, 20:49	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
shame on me $\begin{eqnarray} G(x) = (-0,015 x² + 39x) - (0,00001x^3 -0,023x^2+24x+3300) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x) = - 0,00001x^3 +0,008 x^2 + 15x -3300 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G'(x) = - 0,00003x^2 +0,016 x + 15 \end{eqnarray}$ x = 1022,39 = gewinnmaximale monatliche Stückzahl.
21.06.2015, 20:49	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
no reason to shame (siehe ganz unten :-) [ich hoffe, du hast überprüft, ob ein Maximum vorliegt! Stückzahlen sind ganze Zahlen] was hast du bei E(x) raus?
21.06.2015, 21:05	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E(x) = -0,015 x² + 39x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E'(x) = -0,030 x + 39 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -0,030 x + 39 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac{39}{0,030} = 1300 \end{eqnarray}$ Wenn ich nur ein brauchbares x finde, dann brauch ichs ja nicht überprüfen ? Ich habs mit dem Graphen überprüft. 1300 = Stückzahl mit dem maximalen Erlös. Also stimmen die Stückzahlen nicht überein. maximaler gewinn bei x = 1022,39 maximaler Umsatz bei x = 1300
21.06.2015, 21:08	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
überprüfen doch, könnte auch ein Minimum sein (aber die Aufgaben sind natürlich so gestellt, dass eine Lösung rauskommt) außerdem könnte der Wert G(2000) am Rand höher sein und käme mit G' gar nicht raus! und 'Stückzahlen' sind normalerweise ganze Zahlen
21.06.2015, 21:37	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
c.) Bestimme den Preis, mit dem der Hersteller den größten Gewinn erziehlt. Ich denke ich msus hier einfach x = 1023 (ich denke bei Zahlen mit Kommastellen 1022,34 muss ich aufrunden ?) in die Preis-Absatz Funktion einsetzen. $\begin{eqnarray} p(1023) = -0,015 \cdot 1023 + 39 = 23,66 euro \end{eqnarray}$
21.06.2015, 21:38	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
hier ist normal abrunden richtiger. sonst richtig war's das?
21.06.2015, 21:54	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur fürs Verständnis, warum muss ich ein x dazu multiplizieren um den Umsatzpro Stückzahl zu erhalten? E(x) = x * p(x)
21.06.2015, 21:56	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil E(x) der Gesamtumsatz und nicht der Umsatz pro Stück ist Letzteres ist ja einfach der Stückpreis p(x)
21.06.2015, 22:00	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Umsatz/Stück * Stück = Umsatz Noch eine Frage, interpretiere ich das richtig: Ein Betrieb gibt für die Abschätzung der Gesamtkosten K(x) für x produzierte Stück einer Ware folgende Gleichung an: $\begin{eqnarray} K(x) = 25x + 12000 \end{eqnarray}$ Interpretieren Sie die beiden Zahlenwerte 25 und 12 000 in diesem Kontext! 12000 sind die Fixkosten des Betriebes, 25 sind die Kosten für ein produziertes Stück Ware.
21.06.2015, 22:01	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »

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