Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

21.06.2015, 19:12

Daniel1994

Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Meine Frage:
Hallo zusammen, aber ein Rechenfehler in meiner Rechung, allerdings komme ich nicht drauf, wo er hängt.
Hier die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} xy' = x^2 -y \end{eqnarray*}$

Hier mein Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} y' + \frac{1}{x}y = x \\ \end{eqnarray*}$
Homogene DGL lösen:
$\begin{eqnarray*} y' + \frac{1}{x}y = 0 \\ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} \\ ln|y| = ln|x| + c \\ y_{h} = xc \end{eqnarray*}$

Dann die partikuläre Lösung:
$\begin{eqnarray*} y_{p} = c(x)x\\ y'_{p} = c'(x)x + c(x)\\ \end{eqnarray*}$

Einsetzen in inhomogene DGL:
$\begin{eqnarray*} c'x + c - \frac{1}{x} cx = x \\ c' = 1 \\ c = x \\ y_p = x^2 \\ y = cx+x^2 \end{eqnarray*}$

Allerdings lautet die Lösung meines Profs und die Lösung von Wolframalpha:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{c}{x} + \frac{x^2}{3} \end{eqnarray*}$

Ich bitte um Hilfe. smile

Meine Ideen:
Siehe oben.

21.06.2015, 19:19

Mulder

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RE: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Wenn du das so machen möchtest, gehen die Fehler hier schon los:

Zitat:

Original von Daniel1994
Homogene DGL lösen:
$\begin{eqnarray*} y' + \frac{1}{x}y = 0 \\ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

Da ist dir ein Minuszeichen verloren gegangen. Wenn, dann

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dy}{y} = - \int \frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

Deutlich schneller ginge es, wenn du $\begin{eqnarray*} xy' = x^2-y \end{eqnarray*}$ umformst zu $\begin{eqnarray*} y+xy'=x^2 \end{eqnarray*}$ und dich an die Produktregel erinnerst. Dann kann man das Ganze mit dem Hauptsatz lösen. Ist aber kein Muss, deine Variante führt auch zum Ziel.

21.06.2015, 19:20

grosserloewe

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RE: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Wink

das Minuszeichen fehlt auf der rechten Seite.

21.06.2015, 19:35

Daniel1994

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RE: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Selbst mit dem Minuszeichen ändert sich bei mir das Ergebnis nur in folgender Richtung:

$\begin{eqnarray*} y = xc - x^2 \end{eqnarray*}$

unglücklich

21.06.2015, 19:39

Daniel1994

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RE: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Zitat:

Original von Mulder
Deutlich schneller ginge es, wenn du $\begin{eqnarray*} xy' = x^2-y \end{eqnarray*}$ umformst zu $\begin{eqnarray*} y+xy'=x^2 \end{eqnarray*}$ und dich an die Produktregel erinnerst. Dann kann man das Ganze mit dem Hauptsatz lösen. Ist aber kein Muss, deine Variante führt auch zum Ziel.

Diese Variante haben wir in der Vorlesung noch nicht besprochen, daher würde ich zur Übung der Variation der Konstanten hier gerne dieses Verfahren anwenden. smile

21.06.2015, 19:45

wopi

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RE: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
ich denke, das Minuszeichen ergibt für die Lösung der homogenen DGL

Yh = c / x [statt c*x]

und damit ändert sich einiges

21.06.2015, 19:53

Daniel1994

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RE: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Danke! smile

21.06.2015, 20:05

Mulder

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RE: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Zitat:

Original von Daniel1994
Diese Variante haben wir in der Vorlesung noch nicht besprochen, daher würde ich zur Übung der Variation der Konstanten hier gerne dieses Verfahren anwenden.

Diese "Variante" wird auch eher nicht gesondert besprochen. Das ist nur ein kleiner "Trick", der es hier ermöglicht, das Ganze schneller zu lösen.

Variation der Konstanten anzuwenden ist wie gesagt in Ordnung. Mein Alternativvorschlag hingegen wäre dir sicher auch gestattet (es sei denn, in der Aufgabenstellung steht ausdrücklich, dass VdK benutzt werden soll), denn alles, was du dafür wissen musst, hattet ihr in der jetzigen oder einer früheren Vorlesung sicher schon. Produktregel und Hauptsatz der Analysis dürften ja bekannt sein. Ich könnte mir vorstellen, dass euer Tutor das sonst auch wohl zeigen wird, wenn ihr die Aufgaben irgendwann mal besprecht.

$\begin{eqnarray*} y+xy'=x^2 \end{eqnarray*}$

Links steht einfach die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x \cdot y \end{eqnarray*}$ (Produktregel). Also

$\begin{eqnarray*} (xy)'=x^2 \end{eqnarray*}$

Beidseitig integrieren (links greift der Hauptsatz):

$\begin{eqnarray*} xy = \frac{x^3}{3} +c \end{eqnarray*}$

Nach y auflösen, fertig. Deutlich kürzer halt.

21.06.2015, 22:11

wopi

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RE: Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
@Mulder

dieser - sehr schöne - Sonderfall gehört nach meiner Meinung genau dorthin, wo er jetzt steht:
ans Ende des Threads

Der Fragesteller wollte nämlich wissen, warum sein 'Normalverfahren' nicht funktioniert hat!

Wink

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