Poissonverteilung

22.06.2015, 02:44

tlq

Poissonverteilung

Meine Frage:
Hallo,
kann jemand mir mit dem Lösung helfen ? Ich kenne mich nicht gut aus mit dem Frage.
Eine Firma hat 20 Bestellungen pro Stunde. Sachbearbeiterin braucht 2 min pro Bestellung :
1.) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min keine Bestellung eintreffen
2.) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min 3 Bestellungen eintreffen
3.) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min mehr als 4 Bestellungen eintreffen
4.) Servicerate berechnen
5.) Wieviel prozent warten weniger als 1 min
6.) Durchschnittliche Wartezeit

Meine Ideen:
Ich glaube muss man diese frage mit der Hilfe von Poisson und Exponentialverteilungs Formeln lösen ?

23.06.2015, 17:16

Nullmenge

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RE: Poissonverteilung
Hallo,

Zitat:

kann jemand mir mit dem Lösung helfen ? Ich kenne mich nicht gut aus mit dem Frage.
Eine Firma hat 20 Bestellungen pro Stunde. Sachbearbeiterin braucht 2 min pro Bestellung :

die Anzahl an Ereignissen pro Zeiteinheit werden mit der Poisson-Verteilung simuliert (s. Wikipedia)

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariable für die Anzahl Bestellungen pro Stunde. Dann gilt also $\begin{eqnarray*} X\sim Poi(\lambda) \end{eqnarray*}$ , d. h. wir haben folgende Gewichtsfunktion
$\begin{eqnarray*} f_\lambda(k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es noch, den Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.
Bekannt ist (sollte es zumindest sein; sonst kann man es nachschlagen), dass für den Erwartungswert der Poisson-verteilten Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=\lambda \end{eqnarray*}$

Das ist schön, denn in der Aufgabe steht, dass die Firme 20 Bestellungen pro Stunde hat. (Meist stehen noch so Signalworte wie "erwartet", "erwartungsgemäß", "durchschnittlich", ..)
Also ist $\begin{eqnarray*} \lambda=20 \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} f(k)=\frac{20^k}{k!}e^{-20}. \end{eqnarray*}$

Nun zielen einige Fragen aber nicht darauf ab, Wahrscheinlichkeiten von Häufigkeiten zu berechnen, sondern Wartezeiten zwischen zwei Bestellungen. Die Wartezeit wird als Exponential-verteilt angenommen. (s. auch hier Wikipedia)

Sei also $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariable für die Wartezeit zwischen zwei Bestellungen, dann gilt $\begin{eqnarray*} Y\sim Exp(\mu) \end{eqnarray*}$ . Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist $\begin{eqnarray*} g_\mu(x)=\mu\cdot e^{-\mu\cdot x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\ge0 \end{eqnarray*}$ .

Btw: Bei diskreten Verteilungen spreche ich immer von Gewichtsfunktionen und verwende ein k als Variable, bei stetigen spreche ich von Dichtefunktionen und verwende x.

Jetzt müssen wir noch den Parameter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ herauskriegen. Stichwort: Poisson-Prozess: Unter gewissen Voraussetzungen, nämlich
- Stationarität
- Unabhängigkeit
- Ordinarität
(was die Voraussetzungen bedeuten, spielt jetzt nicht die Rolle; wir nehmen sie als erfüllt an) gilt $\begin{eqnarray*} \lambda_t=\mu\cdot t \end{eqnarray*}$ . Der Index am Lambda steht deshalb, weil sich das Lambda ja auf ein gewisses Zeitintervall bezieht. Da wir hier $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ Stunde nehmen, müsste $\begin{eqnarray*} \mu=20 \end{eqnarray*}$ sein. Allerdings stehe ich hier etwas auf dem Schlauch, wie man die Bearbeitungszeit von 2 min pro Bestellung verarbeiten soll. Vielleicht hat jemand anderes da ne zündende Idee. Wir nehmen jetzt mal an, dass $\begin{eqnarray*} \mu=20 \end{eqnarray*}$ richtig ist Augenzwinkern

Die Rechnung später ändert sich dadurch nur minimal.

Jetzt können wir endlich die Aufgaben selbst:

1) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min keine Bestellung eintreffen
Diese Aufgabe kann man noch mittels der Poisson-verteilten ZV $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ lösen.
Sei $\begin{eqnarray*} X_t \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Bestellungen in t Stunden. Dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda_t=\frac1t\cdot\lambda_1 \end{eqnarray*}$ und wir erhalten
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X_{\frac14}=0)=\frac{5^0}{0!}e^{-5}=e^{-5}=0,0067 \end{eqnarray*}$

2.) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min 3 Bestellungen eintreffen
Nach dieser ganzen Vorarbeit ist auch diese Aufgabe kein Problem. Gesucht ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X_{\frac14}=3)=f(3)=\frac{5^3}{3!}e^{-5}=0,1404 \end{eqnarray*}$

3.) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min mehr als 4 Bestellungen eintreffen
$\begin{eqnarray*} <br /> \mathbb P(X_{\frac14}>4)=1-\mathbb P(X_{\frac14}<4)=1-\mathbb P(X_{\frac14}\le 3)=1-\left(\mathbb P(X_{\frac14}=0)+\mathbb P(X_{\frac14}=1)+\mathbb P(X_{\frac14}=2+\mathbb P(X_{\frac14}=3)\right)\\<br /> =1-\left(\frac{5^0}{0!}e^{-5}+\frac{5^1}{1!}e^{-5}+\frac{5^2}{2!}e^{-5}+\frac{5^3}{3!}e^{-5}\right)=0,735<br /> \end{eqnarray*}$

4.) Servicerate berechnen
Hier weiß ich momentan nicht, was ich unter einer Servicerate verstehen soll.

5.) Wieviel prozent warten weniger als 1 min
Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist $\begin{eqnarray*} F(x)=1-e^{-\mu x} \end{eqnarray*}$ für x>0.
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(Y<\frac1{60})=\mathbb P(Y\le\frac1{60})=1-e^{-20\cdot\frac1{60}}=0,2835 \end{eqnarray*}$
Dadurch, dass das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ vllt falsch ist, kann auch das Ergebnis varriieren.

6.) Durchschnittliche Wartezeit
Gefragt ist nach dem Erwartungswert von Y:
$\begin{eqnarray*} \mathbb E(Y)=\frac1\mu=\frac1{20} \end{eqnarray*}$
Also beträgt die durchschnittliche Wartezeit 1/20 Stunde oder 3 Minuten.

Ich hoffe, ich konnte dir zumindest etwas helfen. Wie gesagt, vllt findet sich jemand, der besser Bescheid weiß bezüglich dieser 2 min / Bestellung. Als Mathematiker rechnet man leider nie solche Praxisbeispiele durch ...

23.06.2015, 17:38

Dopap

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das ist sehr gepflegt und wahrscheinlich auch die Lösung.

Wir haben aber ein PRINZIP , siehe rechts oben unter Navigation.

Also: etwas Zurückhaltung üben. smile