Stetige Abbildungen auf einer Topologie =>Homöomorphismen |
22.06.2015, 10:54 | Moonfire | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stetige Abbildungen auf einer Topologie =>Homöomorphismen Die Aufgabenstellung: Sei G eine Gruppe und T eine Topologie auf G, sodass für alle die Abbildungen und stetig sind. Zeigen Sie, dass für jedes diese Abbildungen sogar Homöomorphismen sind. Zeigen Sie auch, dass eine Untergruppe H von G, welche bezüglich T offen ist, auch abgeschlossen ist! Hinweis: Zeigen Sie, dass eine Partition abgibt, also dass dieses Mengensystem die Restklassenmenge einer Äquivalenzrelation ist. Beweis: 1) zz: sind diese Abbildungen Homöomorphismen sind die Inversen Abbildungen. Da (3. Gruppenaxiom), sind stetig sind stetige Bijektionen mit stetigen Inversen => Homöomorphismen 2) zz: eine Untergruppe H von G, welche bzgl. T offen ist, ist auch abgeschlossen und Also: und H ist eine Untergruppe von G => e(:=das neutrale Element) liegt in H ist wirklich eine Partition da wenn und da Da und r stetig sind, ist offen ist die Vereinigung offener Mengen |
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22.06.2015, 23:17 | Moonfire | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kann mir bitte jemand antworten? |
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22.06.2015, 23:47 | Luscinia | Auf diesen Beitrag antworten » |
Huhu, das mit den Homöomorphismen stimmt. Ich finde deinen Beweis zur Partitionseigenschaft nicht sehr verständlich. Dass ist klar. Es ist also zu zeigen, dass entweder oder . Existiert , so existieren , also , also bzw. . Simpel, präzise, ausreichend. Bei dir blicke ich nicht durch, das ist viel zu umständlich und ich habe auch schon mindestens 2 Fehler entdeckt, wo du dich verschrieben hast. So ist das nicht zu korrigieren. Der letzte Schluss stimmt dann wieder, ist auch wieder mit einem Schreibfehler behaftet. |
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23.06.2015, 00:31 | Moonfire | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke!! Zu dem letzten Teil: l(H)=gH Homöomorphismen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab, also ist l(H) offen ist die Vereinigung offener Mengen => Würde das so gehen? Bei den Homöomorphismen bin ich mir nicht sicher, wieso r und l bijektiv sind... |
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