Stetige Abbildungen auf einer Topologie =>Homöomorphismen

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Moonfire Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Abbildungen auf einer Topologie =>Homöomorphismen
Hallo! Kann sich jemand vielleicht meinen Beweis anschuen und sagen, ob er ok. ist?


Die Aufgabenstellung:

Sei G eine Gruppe und T eine Topologie auf G, sodass für alle die Abbildungen und stetig sind. Zeigen Sie, dass für jedes diese Abbildungen sogar Homöomorphismen sind. Zeigen Sie auch, dass eine Untergruppe H von G, welche bezüglich T offen ist, auch abgeschlossen ist!

Hinweis: Zeigen Sie, dass eine Partition abgibt, also dass dieses Mengensystem die Restklassenmenge einer Äquivalenzrelation ist.


Beweis:


1) zz: sind diese Abbildungen Homöomorphismen

sind die Inversen Abbildungen.

Da (3. Gruppenaxiom), sind stetig sind stetige Bijektionen mit stetigen Inversen => Homöomorphismen


2) zz: eine Untergruppe H von G, welche bzgl. T offen ist, ist auch abgeschlossen





und

Also: und

H ist eine Untergruppe von G => e(:=das neutrale Element) liegt in H ist wirklich eine Partition

da wenn und da



Da und r stetig sind, ist offen ist die Vereinigung offener Mengen
Moonfire Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir bitte jemand antworten?
 
 
Luscinia Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

das mit den Homöomorphismen stimmt.
Ich finde deinen Beweis zur Partitionseigenschaft nicht sehr verständlich. Dass ist klar. Es ist also zu zeigen, dass entweder oder .

Existiert , so existieren , also , also bzw. . Simpel, präzise, ausreichend. Bei dir blicke ich nicht durch, das ist viel zu umständlich und ich habe auch schon mindestens 2 Fehler entdeckt, wo du dich verschrieben hast. So ist das nicht zu korrigieren.

Der letzte Schluss stimmt dann wieder, ist auch wieder mit einem Schreibfehler behaftet.
Moonfire Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!


Zu dem letzten Teil:

l(H)=gH



Homöomorphismen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab, also ist l(H) offen ist die Vereinigung offener Mengen =>

Würde das so gehen?



Bei den Homöomorphismen bin ich mir nicht sicher, wieso r und l bijektiv sind...
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