Zeigen, dass B eine Filterbasis des Umgebungsfilters ist

22.06.2015, 14:10	Moonfire	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass B eine Filterbasis des Umgebungsfilters ist Hallo! Kann sich jemand vielleicht meinen Beweis anschuen und sagen, ob er ok. ist? Die Aufgabenstellung: Ist (X,T) ein topologischer Raum und B eine Basis von T, so zeige man zunächst, dass für jedes $\begin{eqnarray} x \in X \{B \in \mathcal{B} : x \in B \} \end{eqnarray}$ eine Filterbasis des Umgebungsfilters $\begin{eqnarray} \mathcal{U} (x) \end{eqnarray}$ von x ist. Schließlich zeige man, dass (X,T) separabel ist (enthält also eine abzählbare dichte Teilmenge), wenn (X,T) das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt! Hinweis für den zweiten Teil: Man greife aus jedem B einen Punkt heraus, wobei B alle Mengen einer abzählbaren Basis durchläuft, und zeige die Dichtheit dieser Menge in X! Beweis: 1) $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ ist eine Basis von $\begin{eqnarray} T \Leftrightarrow \mathcal{B} \subseteq T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \forall O \in T, x \in O: \exists B \in \mathcal{B}: x \in B \subseteq O \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{U} (x) = \{ U \subseteq x \| \exists O \in T: x \in O \subseteq U \} \end{eqnarray}$ Es gilt also $\begin{eqnarray} \forall O \in T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in O: \exists B \in \mathcal{B} (x) : x \in B \subseteq O \Rightarrow \forall U \in U(x): \exists B \in \mathcal{B} (x): x \in B \subseteq O \subseteq U \Rightarrow ~ \textrm{da} ~ B(x) \subseteq \mathcal{U} (x) ( ~ \textrm{weil} ~ B \in \mathcal{B} (x) \subseteq T: x \in B \subseteq \mathcal{B} \Rightarrow B \in \mathcal{U} (x) ) \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \mathcal{B}(x) \end{eqnarray}$ Filterbasis von $\begin{eqnarray} \mathcal{U} (x) \end{eqnarray}$ ist. 2) zz: (X, T) ist separabel, wenn (X,T) Das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt Sei $\begin{eqnarray} \phi: &B \to X<br /> &B \mapsto x \in B ~ \textrm{beliebig} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sharp \phi(\mathcal{B}) \leq N_0 \end{eqnarray}$ Ist nun $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ beliebig $\begin{eqnarray} \Rightarrow \forall W \in \mathcal{B} (x): \phi \in (W \cap \phi(\mathcal{B}) ) \Rightarrow W \cap \phi(\mathcal{B}) \neq \emptyset \Rightarrow x \in \phi(\mathcal{B}) \Rightarrow (X,T) \end{eqnarray}$ ist separabel ( $\begin{eqnarray} \exists A \subseteq X: \sharp A \leq N_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in X ) \end{eqnarray}$
22.06.2015, 23:16	Moonfire	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} \sharp \end{eqnarray}$ soll für die Mächtigkeit stehen. Kann mir bitte jemand antworten?

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