Gibt es in R nichttriviale Teilmengen, die offen und geschlossen sind?

22.06.2015, 16:12	Myth123	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es in R nichttriviale Teilmengen, die offen und geschlossen sind? Gibt es in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nichttriviale Teilmengen, d.h. $\begin{eqnarray} \neq \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \neq \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , die bezüglich $\begin{eqnarray} E:=T(d_2) \end{eqnarray}$ gleichzeitig offen und abgeschlossen sind? Meine Ideen dazu: Nein. $\begin{eqnarray} \mathbb{R} = (- \infty, + \infty ) \end{eqnarray}$ ist ein Intervall => Es gilt $\begin{eqnarray} \forall I \subseteq \mathbb{R} : I \end{eqnarray}$ ist Intervall <=> I ist zusammenhängend => $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist zusammenhängend And. $\begin{eqnarray} \exists A \subseteq \mathbb{R}: A \in E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^c \in E \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} A \in E \Leftrightarrow \bar{A}^c = A^c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^c \in E \Leftrightarrow \bar{A} = A \end{eqnarray}$ Somit gilt $\begin{eqnarray} A \cap \bar{A}^c = A \cap A^c = \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^c \cap \bar{A} = A^c \cap A = \emptyset \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} A \cup A^c = \mathbb{R} \Rightarrow \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sich als Vereinigung zweier getrennter Teilmengen schreiben lässt, ist $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nicht zusammenhängend! $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Widerspruch! $\begin{eqnarray} A \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \in E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^c \in E \Rightarrow A \in \{ \emptyset, \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ Ist das richtig?
22.06.2015, 23:14	Myth123	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand antworten?
22.06.2015, 23:32	Luscinia	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu du machst es dir viel zu schwer, verstehe nicht, warum du da mit Abschlüssen hantierst. Sei $\begin{align} A\subset \mathbb R \end{align}$ abgeschlossen und offen. Dann ist $\begin{align} A^c \end{align}$ nach Definition von Abgeschlossenheit offen, also $\begin{align} \mathbb R = A\dot\cup A^c \end{align}$ . Weil $\begin{align} \mathbb R \end{align}$ zusammenhängend ist, folgt $\begin{align} A=\mathbb R \end{align}$ oder $\begin{align} A = \emptyset \end{align}$ .
22.06.2015, 23:37	Myth123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh super, danke!! Zusammenhängend bedeutet, dass es nicht möglich ist, $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen. Und wenn eine Menge offen und abgeschlossen ist, müsste auch ihr Komplement offen sein. Ist das alles?
22.06.2015, 23:47	Luscinia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja

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