Determinante der Ableitung

22.06.2015, 17:42	Zuko347	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante der Ableitung Hallo, ich habe folgende Aufgabe , weiss aber nicht, wie ich anfangen soll : Für ein offenes Intervall $\begin{eqnarray} U \subset R^n \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} f \in C^1(U,R^n) \end{eqnarray}$ und es soll gelten: $\begin{eqnarray} \| f(x)\| + \| det f'(x) \| \not= 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in U \end{eqnarray}$ Jetzt soll gezeigt werden dass in einer beliebigen kompakten ( bzw. beschränkten) Teilmenge $\begin{eqnarray} K \subset U \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur endlich viele Nullstellen besitzt. Was ich vermute ist, man muss einen Wiederspruchsbesweis führen , sozusagen: Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ unendlich viele Nullstellen in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ besitzt so gibt es ein $\begin{eqnarray} x \in U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \| det f'(x) \| = 0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Mein Problem ist aber, dass ich nicht weiss, wie ich den term $\begin{eqnarray} \| f(x)\| + \| det f'(x) \| \not= 0 \end{eqnarray}$ interpretieren soll, genauer den term $\begin{eqnarray} \| det f'(x) \| \end{eqnarray}$ . Man kann doch gar nichts über die Ableitung der Funktion sagen, bzw die Determinante der Ableitung? Viele Grüße
22.06.2015, 19:53	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Widerspruchsbeweis ist gut! Hier ist ein Tipp: Benuetze den lokalen Umkehrsatz. Genauer: Angenommen, in einem Kompaktum gibt es unendlich viele Nullstellen. Kannst du etwas ueber eine konvergente Teilfolge und deren Limes aussagen? Was gilt fuer den Grenzwert?
22.06.2015, 21:00	Zuko347	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die antwort! Ich versuche es mal: Sei $\begin{eqnarray} a_{n} \in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} = a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(a) = 0 \end{eqnarray}$ , dann muss $\begin{eqnarray} det f'(a) \not=0 \end{eqnarray}$ gelten (wegen vorraussetzung). Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist gilt daher $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f(a_{n}) = 0 \end{eqnarray}$ . Nach dem Umkehrsatz gibt es dann eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bijektiv ist, d.h $\begin{eqnarray} f(y) \not= 0 ,\forall y \in A \end{eqnarray}$ . An der stelle komme ich leider nicht weiter. Wenn ich zeigen kann dass es nur endlich viele Dieser Umgebungen geben kann ,folgt daraus auch dass es nur endlich viele Nullstellen gibt, aber wie zeige ich das? Grüße
22.06.2015, 23:59	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hier ein paar Anregungen. 1. Du führst einen Widerspruchsbeweis. Du nimmst also an: Sei K kompakte Teilmenge von U, und f hat auf K unendlich viele Nullstellen. Du nimmst hierauf gar nicht Bezug. 2. Da f auf K unendlich viele Nullstellen hat, kannst Du eine Folge $\begin{eqnarray} (a_{k}) \end{eqnarray}$ von Nullstellen von f in K auswählen. Warum konvergiert zumindest eine Teilfolge? 3. Was kannst Du für den Grenzwert einer geeigneten Teilfolge aussagen? Dein Argument zieht nicht, weil in Deiner Terminologie $\begin{eqnarray} f(y)=0 \end{eqnarray}$ gar kein Problem ist; eine Injektive Funktion kann sehr wohl Null werden Es ist auch nicht f auf A bijektiv, sondern Injektiv.
23.06.2015, 04:21	Zuko347	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke für die Hilfe, ich glaube ich habe es jetzt raus: Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ kompakte Teilmenge von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat auf $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ unendlich viele Nullstellen. Dann gibt es eine Folge $\begin{eqnarray} a_{k} \end{eqnarray}$ von Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ kompakt ist und in einer Metrik definiert ist, ist es auch folgenkompakt. Daher existiert eine Teilfolge $\begin{eqnarray} b_{k} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} a_{k} \end{eqnarray}$ , die im Punkt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ konvergiert. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist, muss $\begin{eqnarray} det f'(b) \end{eqnarray}$ auch gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ gehen, da die abstände zwischen den einzelnen nullstellen immer kleiner werden (bez. gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ gehen). Dann würde aber $\begin{eqnarray} \| f(b) \| + \| det f'(b)\| = 0+ 0 = 0 \end{eqnarray}$ gelten, was ein Widerspruch zur Anfangsbedingung ist. Kann man dass so schreiben oder habe ich hier einen Logikfehler gemacht Grüße
23.06.2015, 14:09	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Argument für $\begin{eqnarray} \|\det(f'(b_{k}))\|\to 0,k\to\infty \end{eqnarray}$ ist falsch, das muss im Allgemeinen nicht gelten.
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