Implizite Funktionen

22.06.2015, 21:54	Dayana90	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktionen Hallo! Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^2(1-x^2)-y^2 \end{eqnarray}$ . Skizzieren Sie die Menge $\begin{eqnarray} M=\{(x,y)\in\mathbb R ^2:f(x,y)=0\} \end{eqnarray}$ und untersuchen Sie, ob in den Punkten (0,0) und (1,0) eine lokale Auflösung von M der Form y=g(x) bzw. x=h(y) gibt. Also meine Skizze sieht aus wie eine Schleife, wenn man das so sagen kann Ich habe dann die Ableitungen gebildet: $\begin{eqnarray} D_1 f(x,y)=2x-4x^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_2 f(x,y)=-2y \end{eqnarray}$ . Im Punkt (0,0) gibt es überhaupt keine lokale Auflösung, das sieht man auch schon an der Skizze,also für (x,y)=(0,0) gilt $\begin{eqnarray} D_1 f(x,y)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_2 f(x,y)=0 \end{eqnarray}$ . Für (x,y)=(1,0) gilt $\begin{eqnarray} D_1 f(x,y)=-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_2 f(x,y)=0 \end{eqnarray}$ . Eine lokale Auflösung von der For y=g(x) ist nicht möglich, aber wir können lokal nach x auflösen: f(x,y)=x^4-x^2+y^2=0 Und genau hier komme ich nicht weiter Ich kriege es einfach nicht hin, das ganze nach x umzustellen... Rauskommen soll angeblich $\begin{eqnarray} x=\pm \frac{1}{2} \sqrt{2\pm 2 \sqrt{1-4y^2} } \end{eqnarray}$ , aber ich komme einfach nicht drauf! Kann mir eventuell jemand weiterhelfen und mir auch sagen, ob ich is hierhin alles richtig gemacht habe? Vielen Dank im Voraus Dayana
23.06.2015, 01:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach y kann man umstellen, denn $\begin{eqnarray} y = \pm x \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Die Umkehrung, die Gleichung $\begin{eqnarray} x^4-x^2+y^2=0 \end{eqnarray}$ ist eine biquadratische Gleichung, also eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ . Löse diese einfach nach $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ oder benütze die Substitution $\begin{eqnarray} x^2 = u \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} u^2 - u + y^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{1,2} = \frac 1 2 \pm \sqrt{\frac 1 4 - y^2} \end{eqnarray}$ Mit ein wenig Umformungen und anschließendem Wurzelziehen kommst du auf die angegebene Lösung. mY+
23.06.2015, 11:58	Dayana90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, ich habe mich ein wenig ungeschickt ausgedrückt. Nach y kann man umstellen, aber da $\begin{eqnarray} f_y(x,y)=-2y \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} f_y(1,0)=0 \end{eqnarray}$ gibt es keine lokale Auflösung. Das mit der pq-Formel und der Substitution hab ich bis zu diesem Schritt auch schon gemacht, aber ich weiß nicht, wie es ab da weitergeht Grüße
23.06.2015, 13:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, die Lösung für u in die Substitution rückeinsetzen --> $\begin{eqnarray} x^2 = u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \pm \sqrt u \end{eqnarray}$ Den Term für u kannst noch a bissl umformen, $\begin{eqnarray} \frac 1 4 \end{eqnarray}$ ausklammern: $\begin{eqnarray} u_{1,2} = \frac 1 4 (2 \pm 2 \sqrt {1 - 4y^2}) \end{eqnarray}$ Jetzt machst halt über das Ganze nochmals ein großes Wurzelzeichen .. , die Wurzel aus $\begin{eqnarray} \frac 1 4 \end{eqnarray}$ ist ja dann $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \end{eqnarray}$ mY+
23.06.2015, 14:13	Dayana90	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Viel Dank

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