Basis und Subbasis einer Topologie

23.06.2015, 05:50	Lucy67	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis und Subbasis einer Topologie (X,T): Topologischer Raum $\begin{eqnarray} X:= \{ \emptyset, \{1\},\{1,2\},X \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X:= \{1,2,3 \} \end{eqnarray}$ zz: 1) Jede Basis $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ der Topologie T muss mit T oder mit $\begin{eqnarray} \{ \{ 1 \} , \{ 1,2 \} , X \} \end{eqnarray}$ übereinstimmen. 2) V ist eine Subbasis von T $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow V \subseteq \{ \{ 1 \} , \{ 1,2 \} \} \end{eqnarray}$ Meine Ideen dazu wären: 1) $\begin{eqnarray} O= \{1\}, x=1 \Rightarrow \end{eqnarray}$ die kleinste mögliche Basis ist {1} $\begin{eqnarray} O= \{ 1, 2 \}, x=1 \Rightarrow \end{eqnarray}$ die kleinste mögliche Basis ist {1} $\begin{eqnarray} O= \{ 1, 2 \}, x=2 \Rightarrow \end{eqnarray}$ die kleinste mögliche Basis ist {1,2} $\begin{eqnarray} O= X , x=3 \Rightarrow \end{eqnarray}$ die Basis ist X (Macht es überhaupt einen Unterschied, ob die leere Menge in der Basis liegt oder nicht?) Ist das richtig? Fehlt noch irgendwas? -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) $\begin{eqnarray} " \Rightarrow " \end{eqnarray}$ V ist Subbasis von T $\begin{eqnarray} \Rightarrow V \subseteq T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E:=X \cup \{ \cap_{i=1}^n C_j , C_j \in V \} \end{eqnarray}$ ist Basis von $\begin{eqnarray} V \Rightarrow \end{eqnarray}$ aus dem ersten Teil folgt E=T und $\begin{eqnarray} E=T \backslash \{ \emptyset \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \exists (C_i)_{i=1}^n , (D_j)_{j=1}^m \in V:<br /> \cap_{i=1}^n C_i= \{ 1 \} und \cap_{j=1}^m D_i= \{ 1,2 \}<br /> \Rightarrow \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} V \subseteq T \Rightarrow \forall i \in \{1,...,n \} : C_i \in \{\{ 1 \} , \{1,2 \} \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \exists i \in \{ 1,...,n \} : C_i= \{ 1 \} . \end{eqnarray}$ Genauso $\begin{eqnarray} \forall j \in \{1,...,m \} : D_j \in \{\{ 1,2 \} ,X \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \exists j \in \{ 1,...,m \} : D_j= \{1,2 \} \Rightarrow V \supseteq \{ \{ 1 \} , \{ 1,2 \}\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} " \Leftarrow " \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T \subseteq V \subseteq \{ \{ 1 \} , \{ 1,2 \} \} \Rightarrow \end{eqnarray}$ definiere $\begin{eqnarray} E=X \cup \{ \bigcap_{i=1}^n C_i, C_i \in V \} \Rightarrow E= \{ \{ 1 \}, \{ 1,2 \} , X \} \Rightarrow E \end{eqnarray}$ ist Basis von $\begin{eqnarray} T \Leftrightarrow V \end{eqnarray}$ ist Subbasis Zwei Beiträge zusammengefügt, gewünschte Korrektur durchgeführt und Folgebeiträge entfernt, damit Antwortenzähler auf 0 steht. (Guppi12)

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