Induzierte Metrik und offene Teilmenge

23.06.2015, 14:06	thomaswening	Auf diesen Beitrag antworten »
Induzierte Metrik und offene Teilmenge Meine Frage: Sei (X,d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X mit der von X induzierten Metrik $\begin{eqnarray} d_{A} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} V\subset A \end{eqnarray}$ ist offen in $\begin{eqnarray} (A,d_{A}) \end{eqnarray}$ genau dann, wenn eine Menge $\begin{eqnarray} U\subset X \end{eqnarray}$ existiert, die offen in (X,d) ist, und für die gilt, dass $\begin{eqnarray} V=U\cap A \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} U\subset X \end{eqnarray}$ offen gegeben mit $\begin{eqnarray} U\cap A=V \end{eqnarray}$ . Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} x_{U}\in U \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B(x_{U})=\{p\in U \mid d(p,x_{U})<\epsilon\}\subset U \end{eqnarray}$ . Und wegen $\begin{eqnarray} U\cap A=V \end{eqnarray}$ gibt es dann zu jedem $\begin{eqnarray} x_{V}\in V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B(x_{V})=\{p\in U\cap A \mid d(p,x_{V})<\epsilon\}\subset U\cap A = V \end{eqnarray}$ . Aber wie zeige ich nun die andere Richtung? Sei V offen gegeben. Das heißt, dass es zu jedem $\begin{eqnarray} x_{V}\in V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} B(x_{V})=\{p\in V \mid d(p,x_{V})<\epsilon\}\subset V \end{eqnarray}$ . Aber wie folgere ich daraus dann, dass es diese offene Teilmenge U mit der gewünschten Eigenschaft gibt? LG Thomas

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