Schursche Normalform |
| 23.06.2015, 15:15 | SirHyper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Schursche Normalform die Aufgabe um die es sich handelt befindet sich im Anhang, im Wesentlichen muss man zwei Matrizen auf die Schursche Normalform bringen. Allerdings ist in unserem Skript eigentlich keine Erklärung bzw Kochrezept zu finden, nur ein Beweis mittels Induktion. Ich weiß dass ich zunächst ein mal die Eigenwerte finden muss für die Matrix A wären dies 1 und -1 wobei -1 zweifach entartet ist. Wenn ich nun die Eigenvektoren bestimmen will bin ich mir unschlüssig bzgl meines Ergebnisses. Für 1 finde ich zwar den Eigenvektor (1,1,-1), aber für -1 sind alle drei Zeilen linear abhängig und es bleibt mir nur noch x_2 = 0 was kann ich daraus für den Eigenvektor schließen? Ich weiß dass ich jetzt einen Eigenvektor wählen darf und ihn zu einer Basis ergänzen, wobei sich hierbei die Standartbasis anbietet, dannach muss ich die Darstellende Matrix finden. Jetzt ist der Punkt an dem ich nicht mehr weiß was zu tun ist. Freue mich über eure Hilfe 
Grüße Tim |
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| 23.06.2015, 15:33 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallo,
Grobe Vermutung meinerseits: Der Beweis ist das "Kochrezept"
Du brauchst nur einen.
Das ist stinknormaler Gauß-Algorithmus. Der Lösungsraum ist hier halt zwei-dimensional. Und "den" Eigenvektor gibt es nicht. Es gibt immer mehrere (außer du bist im GF(2)).
Zu einer orthonormalen Basis. Deine Basiswechselmatrix soll ja unitär sein.
Da ist eigentlich nichts zu finden. Die Vektoren der orthon. Basis lassen sch als Matrix U schreiben, und damit ist U*AU eben diese.
ahem... |
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| 23.06.2015, 15:42 | SirHyper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hm er ist eine Art Kochrezept, aber nicht verständlich bzw ausführlich genug, so dass ich alles verstehe. Was sind dann meine Eigenvektoren für -1, wenn die einzige Information x_2 = 0 ist? und? Da hast du Recht allerdings ist unser Beweis aus der Vorlesung weniger stark, es wird keine Aussage darüber getroffen ob die Matrix unitär ist, weswegen wir auch die Definition aus Wikipedia nicht benutzen dürfen. Wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen wenn ich mir einen Eigenvektor gewählt habe? Gibt es eine Voraussetzung um die Schursche Normalfrom bilden zu können, weil in der Aufgabenstellung steht "Entscheiden sie, ob..."? |
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| 23.06.2015, 15:51 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ja.
Dann ist es keine Schurzerlegung sondern was anderes. Worüber sprechen wir hier eigentlich?
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| 23.06.2015, 16:00 | SirHyper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich hab dir im Anhang mal unseren Beweis zur Schurschen Normalform hinterlegt, die Überschrift über diesem Beweis ist "Schursche Normalform". Prinzipielle sagt die Aufgabe nur dass ich Darstellende Matrizen finden soll die mir die Matrix als obere Dreiecksmatrix geben, allerdings lässt sich dies mit der Schurzerlegung recht gut erledigen. Hm ich habe eine Beispielaufgabe von letztem Jahr gesehen, dort sieht das irgendwie anders aus. Die nehmen im nächsten Schritt nur den rechten unteren Block der Darstellenden Matrix und ermitteln davon wieder einen Eigenvektor mit dem sie dann erneut eine Basis bilden. Allerdings ist das etwas undurchsichtig für mich. :/ Kannst du mir diese Voraussetzung sagen? Ist die Bedinung dass das char. Polynom in R in Linearfaktoren zerfällt? |
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| 23.06.2015, 16:16 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Bei der ersten kannst du sogar diagonalisieren.... Du brauchst Schursche NOrmalenform hier in der Aufgabe nicht.
Genau wie ihr hier im Beweis.
Ich bin der Meinung, dass es viel, viel sinnvoller für dich solche Informationen selber nachzuschlagen oder zu googeln. |
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| 23.06.2015, 16:44 | SirHyper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ah vielen Dank auf diagonalisieren bin ich erst gar nicht gekommen, weil ich so auf Schur eingeschossen war. Die A habe ich jetzt. Ist die Vorsaussetzung dass das char. Polynom in R in Linearfaktoren zerfallen muss? |
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| 23.06.2015, 16:56 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ja ist sie. |
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| 23.06.2015, 18:17 | SirHyper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Das heißt ich könnte für die Matrix A auch die Schursche Normalfomr aufstellen, allerdings wäre es dieselbe wie die Diagonalfrom? |
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| 24.06.2015, 13:35 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Wenn ihr unter Normalform nur die Gestalt der Matrix meint und keine Transformationsmatrizen dann ja. Es ist allerdings aus dem Gebiet: "Warum einfach wenn's auch kompliziert geht" |
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