Orthogonale Abbildung

23.06.2015, 16:20

goldotto

Orthogonale Abbildung

Meine Frage:
Betrachte die Vektoren $\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .
Finde eine orthogonale Abbildung, die v und w in die x-y-Ebene abbildet.

Wir sollen zunächst $\begin{eqnarray*} v \times w \end{eqnarray*}$ (Kreuzprodukt) berechnen und sollen dann dann eine Spiegelung an einer Ebene vornehmen, die den Kreuzproduktvektor auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \left\| v\times w \right\| \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abbildet.

Meine Ideen:
Das Kreuzprodukt ist $\begin{eqnarray*} v \times w = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Vektor auf den der Kreuzprodukt abgebildet werden soll, ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \sqrt{21} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Mir ist einfach nicht klar, wie ich eine solche Projektion ausüben kann und ich hoffe jemand kann mir dahingehen helfen.

Mfg

kgV: Latex-Tags gesetzt. Damit die Formeln als solche dargestellt werden, packe sie zwischen

code:
1:	[latex][/latex]

24.06.2015, 10:01

Ehos

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Es ist klar, dass die Aufgabe nicht eindeutig gelöst werden kann. Eine Möglichkeit der Lösung wäre folgende: Finde zunächt drei (nicht eindeutige) Bildvektoren:
-------------------
(1) Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec a=\vec v \times \vec w \end{eqnarray*}$ wird auf den Vektor $\begin{eqnarray*} \tilde{\vec a}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ |\vec v \times \vec w| \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildet (also auf die z-Achse)

(2) Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ wird auf den Vektor $\begin{eqnarray*} \tilde {\vec v}= \begin{pmatrix} |\vec v | \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildet (also auf die x-Achse)

(3) Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec w \end{eqnarray*}$ wird auf einen Vektor $\begin{eqnarray*} \tilde {\vec w} \end{eqnarray*}$ mit folgenden Eigenschaften abgebildet
- $\begin{eqnarray*} \tilde {\vec w} \end{eqnarray*}$ liegt innerhalb der xy-Ebene
- $\begin{eqnarray*} \tilde {\vec w} \end{eqnarray*}$ hat den Betrag $\begin{eqnarray*} |\vec w| \end{eqnarray*}$
- Der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec v, \vec w \end{eqnarray*}$ ist genauso groß wie der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \tilde {\vec v}, \tilde{\vec w} \end{eqnarray*}$
--------------------
Wenn du diese 3 Bildvektoren berechnet hast, was mit Schulmathematik leicht möglich ist, dann musst du eine Drehmatrix D finden, welche die Urbilder auf diese BIlder abbildet, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \tilde v_1 & \tilde w_1 & \tilde a_1 \\ \tilde v_2 & \tilde w_2 & \tilde a_2 \\ \tilde v_3 & \tilde w_3 & \tilde a_3 \end{pmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21}& d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{pmatrix}}_{\text{Drehmatrix}}\begin{pmatrix} v_1 & w_1 & a_1 \\ v_2 & w_2 & a_2 \\ v_3 & w_3 & a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind 3 Gleichungssysteme für die 3 Spalten der Drehmatrix.

$\begin{eqnarray*} \,\,\, \end{eqnarray*}$

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