Differentialgleichung 2. Ordnung lösen

23.06.2015, 17:43	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 2. Ordnung lösen Hallo! Ich bräuchte mal Hilfe bei folgender Aufgabe: "Lösen Sie folgende Differntialgleichung nach y = y(x) auf!" $\begin{eqnarray} y'' +3y' -28y +28x = 0 \end{eqnarray}$ Aufgaben dieser Art haben wir noch nicht in der Vorlesung behandelt, deshalb habe ich versucht erst einmal mit Hilfe eines Tafelwerks zu lösen. Dies funktioniert jedoch nur zum Teil. Hier meine Lösungsschritte: $\begin{eqnarray} y'' +3y' - 28y = 0<br /> <br /> \lambda^2 + 3\lambda -28 = 0<br /> <br /> \lambda_1 = 4 <br /> \lambda_2 = -7<br /> <br /> 4 \neq -7; \in \mathbb R <br /> <br /> y_1 = e^{\lambda_1x} y_2 = e^{\lambda_2x}<br /> <br /> -> c_1e^{4x} + c_2e^{-7x} + ...<br /> \end{eqnarray}$ Wie muss ich nun fortfahren? Habe ehrlich gesagt gerade null Orientierung und weiß ehrlich gesagt auch nicht, wieso ich bspw. zu Beginn daraus "y'' + 3y' -28y = 0" machen durfte. Vielen Dank für Hilfe und beste Grüße!
23.06.2015, 17:52	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 2. Ordnung lösen Hallo, du mußt die Gleichung umschreiben in: y'' +3y' -28y= -28x 1. Berechnung der homogenen Lösung: y'' +3y' -28y=0 die homogene Lösung hast Du ja richtig ermittelt y(h)= C(1) e^(-7x) +C(2) e^(4x) 2. Du brauchst hier einen Ansatz für die part. Lösung. Dafür gibt es Tabellen. Der Ansatz lautet hier: y(p)= A +Bx du mußt diesen Ansatz 2 Mal differenzieren und dann in die Aufgabe einsetzen. Danach führst du einen Koeffizientenvergleich durch. Dann hast Du die part. Lösung. 3. y=y(h) +y(p) (Lösung) Hier die Tabellen (Seite 2 ; Punkt 2) http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf
23.06.2015, 18:35	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dein Beitrag hat sehr geholfen! Die Tabelle mit den Ansätzen bezüglich des Störgliedes ist auch in meinem Nachschlagewerk enthalten, jedoch hatte ich Probleme damit es richtig zu interpretieren. Nun habe ich wie folgt gerechnet: $\begin{eqnarray} y(p):<br /> <br /> y(p) = Ax + B<br /> y'(p) = A<br /> y''(p) = 0<br /> <br /> 3A - 28(Ax + B) = -28x<br /> 3A - 28Ax - 28B = -28x<br /> <br /> Koeffizientenvergleich:<br /> x^1: -28A = -28 <br /> A = 1<br /> <br /> <br /> x^0: 3A - 28B = 0<br /> 3 - 28B = 0<br /> B = \frac{3}{28} <br /> <br /> y(p) = x + \frac{3}{28}<br /> y(h) = c_1e^{4x} + c_2e^{-7x}<br /> <br /> y(x) = y(h) + y(p)<br /> <br /> y(x) = c_1e^{4x} + c_2e^{-7x} + x + \frac{3}{28} \end{eqnarray}$ Passt das so? Wie gesagt, danke nochmal für die Hilfe. An sich gar nicht so schwer, jetzt muss ich nur noch dahinter steigen, WIESO dies eigentlich so lösbar ist. Das ist allerdings für die Lösung der Aufgabe unrelevant.
23.06.2015, 18:41	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
gut stimmt alles. Viel Spaß damit.

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