Extremwertaufgabe mit Produktintegration

23.06.2015, 18:53	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe mit Produktintegration Die Wachstumsgeschwindigkeit einer speziellen Gummibaumart im Gewächshaus wird beschrieben durch die Funktion $\begin{eqnarray} w_{G}(t) = a \cdot t \cdot e^{2-t} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{R^+} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{R^+} \end{eqnarray}$ in Monaten. Die Höhe des ausgewachsenen Bäumchens werde mit H bezeichnet und wird in Metern gemessen. a) Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit extremal? Wann ändert sich die Wachstumsgeschwindigkeit am schnellsten? Damit ein Extremum vorliegt, muss ja $\begin{eqnarray} w'(t) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w''(t) \neq 0 \end{eqnarray}$ sein. Erste Ableitung it $\begin{eqnarray} w'(t) = a \cdot (1 - t) \cdot e^{2-t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = a \cdot (1-t) \cdot e^{2-t} \end{eqnarray}$ ist für t = 1 Null. Nachweis: $\begin{eqnarray} w''(t) = a \cdot (t - 2) \cdot e^{2-t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w''(t) = a \cdot (1 - 2) \cdot e^{2-1} = -ae < 0 \to Maximum! \end{eqnarray}$ Heißt das nun, dass die Wachstumsgeschwindigkeit für t = 1 extremal ist? Edit: Erledigt!

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