Integration durch Substituion

23.06.2015, 21:14

Rivago

Integration durch Substituion

Zeigen Sie, dass folgende Beziehung gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{ln(x)}{x^2 + 1} \ dx = 0 \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht wie man da rangehen muss.. ich weiß nur, dass es was mit Substitution ist und das hab ich in der Vorlesung leider nicht verstanden unglücklich

Mag mir jemand helfen?

23.06.2015, 21:23

Gast11022013

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Was hast du denn in der Vorlesung nicht verstanden?
Die Substitutionsmethode?

Eine Stammfunktion sollte hier ohne weiteres gar nicht anzugeben sein.
Da musst du dir etwas anderes überlegen.

23.06.2015, 21:37

Rivago

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Zum einen der Unterschied von

$\begin{eqnarray*} \int f(x) \ dx = \int f(x(u)) \frac{dx}{du} \ du \end{eqnarray*}$ ......... (Fall 1)

oder

$\begin{eqnarray*} \int f(x) \ dx = \int f(g(x)) \ dx = \int f(u) \frac{du}{dx} \ dx \end{eqnarray*}$ ........(Fall 2)

Warum einmal dx/du und das andere mal du/dx?

Dann haben wir Beispiele gemacht, bei $\begin{eqnarray*} f(x) = arcsin(x) \end{eqnarray*}$ wurde Fall 1 verwendet.

Bei $\begin{eqnarray*} f(x) = cos(e^x) \cdot e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = ln(cos^2x) \end{eqnarray*}$ wurde Fall 2 verwendet.

Wo ist da der Unterschied? Im Endeffekt haben alle 3 Funktionen eine innere Funktion??? verwirrt

Zurück zur Aufgabe: Eine Stammfunktion soll ich ja auch nicht angeben, oder?

Ich hab in der Lösung geguckt, da steht das man das Integral aufsplittet in $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{ln(x)}{x^2 + 1} \ dx + \int_1^\infty \frac{ln(x)}{x^2 + 1} \ dx \end{eqnarray*}$

Ich könnte das jetzt natürlich so hinnehmen, aber das bringt mich nicht weiter. Ich verstehs nicht und abschreiben von der Lösung macht mich auch nicht besser unglücklich

23.06.2015, 22:10

Gast11022013

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Steht in der Lösung denn noch mehr, außer dieses "aufsplitten"?
Es wird lediglich an der Nullstelle getrennt, weil dort nun mal der Vorzeichenwechsel ist.
Ich sehe gerade nicht wie das hier hilft.

Damit es Null ist müssen dann die beiden Integrale "gleich" sein, wobei sie sich natürlich um das Vorzeichen unterscheiden.

Der Unterschied zwischen den beiden Fällen ist, dass du im ersten Fall deine Variable x durch eine Funktion mit der Variablen u substituierst.
Im zweiten Fall substituierst du eine Funktion mit u.

Für $\begin{eqnarray*} f(x)=\arcsin(x) \end{eqnarray*}$ werdet ihr also wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} x=\sin(u) \end{eqnarray*}$ substituiert haben.
Nun geht es darum das dx ebenfalls zu substituieren, weil wir ja nun nach u integrieren müssen.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ gibt dir dabei an ob du nach u oder nach x differenzierst.
Im ersten Fall differenzierst du nach u. Im zweiten Fall differenzierst du nach x.

23.06.2015, 22:16

Rivago

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Zitat:

Original von MagFassLehrt
Der Unterschied zwischen den beiden Fällen ist, dass du im ersten Fall deine Variable x durch eine Funktion mit der Variablen u substituierst.
Im zweiten Fall substituierst du eine Funktion mit u.

Und woher weiß ich nun, wann ich welchen Fall nehmen muss? Das ist mir nämlich nicht klar.

Hätte ich für $\begin{eqnarray*} f(x) = arcsin(x) \end{eqnarray*}$ auch den 2. Fall nehmen können?

Hier noch die Lösung..

23.06.2015, 22:33

Gast11022013

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Zitat:

Und woher weiß ich nun, wann ich welchen Fall nehmen muss? Das ist mir nämlich nicht klar.

So wirklich klar ist das wahrscheinlich niemandem...
Integration durch Substitution ist manchmal überaus trickreich und man braucht sehr viele verschiedene Versuche um es zu lösen. Ein allgemeines Rezept was du substituieren musst, und wodurch, gibt es leider nicht. Da hilft dir nur deine Erfahrung die du eben durch dieses Probieren sammelst.

Oftmals ist es auch so, dass die "offensichtlichste" Substitution zum Ziel führt. Damit meine ich, dass man einfach das substituiert was am meisten stört, was dann irgendwie auch wieder ein rein optisches Problem ist... (ich suche gerade nach einem Beispiel wo es so ist, damit du dir was besseres darunter vorstellen kannst)
Das wird aber nicht immer so sein. Wie gesagt, sowas kann beliebig schwer werden.

__
Edit:

Ein Beispiel wäre vielleicht folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cos(n\cdot\arccos(x))\cos(m\cdot\arccos(x))\, dx \end{eqnarray*}$

Hier stört mich rein von der Optik der $\begin{eqnarray*} \arccos(x) \end{eqnarray*}$ ich finde es also "offensichtlich" als erstes $\begin{eqnarray*} u=\arccos(x) \end{eqnarray*}$ zu probieren, was dann auch funktioniert. (Auch wenn man hier dann auch nicht direkt auf die Lösung kommt und man noch weiter arbeiten muss)
__

Bei deiner Lösung im Bild wäre ich jetzt auch nicht als erstes darauf gekommen es überhaupt so zu lösen.
Ich hätte versucht es durch eine Abschätzung nach oben und unten (durch Integrale wo ich leichter zeigen kann, dass sie jeweils Null sein müssen).
Weiß aber auch nicht ob das ohneweiteres funktioniert und hätte dann vielleicht nach einem anderen Weg gesucht und wäre dann vielleicht irgendwann mal auf deine Musterlösung gekommen.

Zitat:

Hätte ich für $\begin{eqnarray*} f(x) = arcsin(x) \end{eqnarray*}$ auch den 2. Fall nehmen können?

Nein, weil du dann lediglich das x durch ein u ersetzen würdest. Du würdest also anstelle von

$\begin{eqnarray*} \int \arcsin(x) \,dx \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \int \arcsin(u)\, du \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dadurch hast du aber nichts gewonnen.

23.06.2015, 22:39

Rivago

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Okay, danke smile

Würdest du mir vllt noch die Musterlösung erklären?

Was genau hat man da substituiert? Zum Beispiel das x = 1/u

Wie kommt man darauf? Welches x hat man da genommen? Das vom ln(x) oder das x^2 im Nenner?

Usw Usf..

Danke smile

23.06.2015, 22:51

Gast11022013

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Wenn du $\begin{eqnarray*} x=\frac1u \end{eqnarray*}$ substituierst, dann musst du natürlich jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac1u \end{eqnarray*}$ ersetzen.

War das dein einziges Verständnisproblem zu der Musterlösung?
Wenn du die Substitution erst mal hast, dann ist der Rest ja nur noch das anwenden von bekannten Rechenregeln. Etwas anderes passiert auch in der Musterlösung nicht und die Rechnung solltest du dir selber klar machen können. Am besten einmal selber nachrechnen, da ein paar Rechenschritte übersprungen werden, was dich vielleicht gerade verwirrt.

23.06.2015, 23:11

Rivago

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Aber warum gerade 1/u?

Und warum ist $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} = -\frac{1}{u^2} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Die Lösungen kann man echt dem Hasen schenken. Im ersten Semester waren sie noch mehr oder weniger ausführlich, inzwischen werden nur noch Zwischenergebnisse oder gar Endergebnisse hingeklatscht, bei denen 100 Zwischenschritte einfach weggelassen werden.. und dann sitzt man zu Hause und versteht nur Bahnhof oder braucht ewig um nachzuvollziehen, was da gemacht wurde. Schwach, wenn er es doch als "ausführliche Lösungen" beschreibt und außerdem vor Jahren einen "Förderverein" ins Leben gerufen hat, da 95% der Studenten mit Mathe Probleme haben. Er sollte also genau wissen, dass solche "Lösungen" nicht helfen, wenn man alles überspringt. Aber gut, genug ausgekotzt.

23.06.2015, 23:38

Gast11022013

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Sieh es doch von der positiven Seite. Immerhin steht in der Musterlösung nicht bloß "trivial".

$\begin{eqnarray*} x=\frac1u \end{eqnarray*}$

dies differenzierst du nun nach u. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac1u \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\frac1{u^2} \end{eqnarray*}$

Deshalb $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du}=-\frac1{u^2} \end{eqnarray*}$

Eigentlich finde ich die Musterlösung ausführlich.

Zitat:

Aber warum gerade 1/u?

Weil es funktioniert.
Wie gesagt, auf eine Substitution zu kommen kann beliebig schwer werden.

Es ist leider nicht einfach (und vielleicht auch nahezu unmöglich) in den meisten Fällen ein plausibles Argument zu geben warum man nun diese Substitution macht.
Wie gut eine Substitution ist zeigst sich meist erst am Ende einer Rechnung. Das heißt um auf eine passende Substitution zu kommen musst du im Grunde schon wissen wie sich diese Substitution auf die komplette Rechnung auswirkt. So vorausschauend werden das aber die wenigsten durchdenken und einfach anfangen und gucken was passiert.
Wie gesagt, "trial and error"....

24.06.2015, 18:49

RavenOnJ

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RE: Integration durch Substituion
Du könntest einfach $\begin{align*} s=\ln(x), x=e^s,\dd x = e^s\dd s \end{align*}$ substituieren. Dies läuft auf ein Integral über eine ungerade Funktion über ganz $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ hinaus, das bekanntlich 0 sein muss.

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