Orthogonale Abbildungen - Matrizen aller Abbildungen die Skalarprodukt invariant lassen

24.06.2015, 02:33	Jan0000	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Abbildungen - Matrizen aller Abbildungen die Skalarprodukt invariant lassen Hallo, meine Aufgabe zum Thema 'Orthogonale Abbildungen der Ebene' ist, dass ich die Matrizen aller Abbildungen R2 -> R2, die das Skalarprodukt invariant lassen, bestimmen soll. Leider kann ich damit nicht viel anfangen. So wie ich die Aufgabe verstehe muss ich alle 2x2 Matrizen die das gleiche Skalarprodukt haben bestimmen? Muss ich dafür die Einheitsbasis nehmen und alle Varianten von dieser mit gleichem Skalarprodukt schreiben? Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen Dank schon mal.
24.06.2015, 04:50	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Abbildungen - Matrizen aller Abbildungen die Skalarprodukt invariant lassen Du sollst alle 2x2-Matritzen A finden, für die mit beliebigen Vektoren x und y aus R2 gilt: (A * x) * (A * y) = x * y * steht dabei in den Klammern für die Matritzenmultiplikation sonst für das Skalarprodukt. Andere Schreibweise: < A * x , A * y > = < x , y >
24.06.2015, 06:11	Jan0000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die Antwort. Ist A hier (A * x) * (A * y) = x * y die ganze Matrix oder erste Spalte mal Vektor x mal zweite Spalte mal Vektor y? Weil wenn ich eine Matrix A mit x multipliziere habe ich ja wieder eine Matrix die aus 2 Spalten besteht. Und wenn ich das gleiche mit y mache habe 2 Matritzen die als Skalraprodukt das Skalarprodukt von x und y ergeben sollen? Ich verstehe nicht wie ich dann nach den Matrixmultiplikationen in den Klammern das Ergebnis der beiden Ergebnisse als Skalarprodukt berechnen kann und wie ich von einem Ergebnis mit 2 Splaten auf der linken Seite auf eines mit einer Spalte auf der rechten Seite komme? Das wäre mein Rechenweg: $\begin{eqnarray} <br /> (\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} ) \cdot (\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} ) = x \cdot y \\<br /> = \begin{pmatrix} (a_1x_1 + a_1x_2) & (a_2x_1 + a_2x_2) \\ (b_1x_1 + b_1x_2) & (b_2x_1 + b_2x_2) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (a_1y_1 + a_1y_2) & (a_2y_1 + a_2y_2) \\ (b_1y_1 + b_1y_2) & (b_2y_1 + b_2y_2) \end{pmatrix} <br /> = \begin{pmatrix} x_1 \cdot y_1 \\ y_1 \cdot y_2 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Dankeschön
24.06.2015, 11:35	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast Ax und Ay falsch berechnet (Matrizenmultiplikation) z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1x1+a2x2 \\ b1x1+b2x2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auch das Skalarprodukt xy zweier Vektoren rechnet man anders aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = x1y1+x2y2 \end{eqnarray*}$ Das Ergebnis ist also eine Zahl!
25.06.2015, 00:30	Jan0000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so ok, dankeschön, jetzt habe ich es verstanden

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