Lösen von speziellen Rekursionsgleichungen

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Ragger Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen von speziellen Rekursionsgleichungen
Meine Frage:
Guten Mittag,

Ich habe mal eine kurze Frage die ich euch stellen möchte:

Beim Lösen von Rekursionsgleichungen verstehe ich einen "speziellen" Fall leider noch gar nicht:

2an+2 - 11an-1 + 5an = 0 mit n>=0, a0=2, a1=8 zB.



Meine Ideen:
Wenn ich die gleichung zB Umstelle nach 2an+2 = ...... hilft mir das leider auch nicht weiter..
Kann mir jemand den Ansatz zum Lösen erklären, es geht mir nicht spezifisch um genau diese Aufgabe

Vielen Dank schonmal!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst unbedingt Klammern bei den Indices setzen, sonst ist das missverständlich, oder du nimmst lieber gleich den Formeleditor!



Du kannst mittels der Rekursionsgleichung nicht unmittelbar das Bildungsgesetz der Folge ermitteln, sondern musst die Folge durch schrittweises Einsetzen erst aufbauen:













Danach kann man sich um ein Bildungsgesetz kümmern, z.B. mittels Differenzfolgen, wenn genügend Glieder vorhanden sind

mY+
 
 
Ragger Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir den letzten Schritt, also das mit dem Bildungsgesetz nochmal etwas genauer beleuchten? Habe das noch nie gemacht und mir fehlt dort leider etwas der Ansatz....

Aber schonmal danke für die schnelle Antwort gerade smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rekursionsgleichung



lässt darauf schließen, dass sich die (explizite) Termdarstellung von durch ein quadratisches Polynom (m = 2) beschreiben lässt.
Denn die Indexerhöhung von a_n bis a_{n+2} ist m = 2 (mittels der lin. Algebra wird dies genauer erklärt,
dabei gibt es auch eine charakteristische Gleichung, sh. u. a. auch bei Fibonacci-Folgen).

Mit genügend einzelnen Gliedern der Folge lässt sich dieses Polynom immer eindeutig bestimmen:


EDIT: Gestrichen

Damit wird durch Einsetzen in das Polynom ... das lGS gebildet:

.....

und aufgelöst.
Darauf beruht übrigens auch die Methode der Bildung der Differenzfolgen.

Wir erhalten


....

Edit: Unzutreffendes gestrichen, auch die LaTex - Texte sind ungültig, die kann man leider nicht durchstreichen.
Richtig im Nachpost!


mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

oder irre ich wie üblich?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Klitzekleiner Einwand: Wenn man hier

Zitat:


einsetzt, bekommt man nicht , was ja oben schon mal korrekt mit der Rekursionsgleichung bestimmt wurde. Meine Empfehlung wäre, sich doch an das Standardverfahren zu halten: Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen, daraus die allgemeine Lösung der Rekursionsgleichung gewinnen, dann die beiden freien Konstanten an die Anfangswerte anpassen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

was wenn ich recht haben sollte, das ergeben könnte:

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden, sorry für den Irrtum.
Die Methodik ist auch zu sehen in

http://www.sara-adams.de/files/german/rekursion.pdf

Für das Beispiel lautet die charakteristische Gleichung



Die Lösungen 5 und 1/2 sind dann die Basen in



Die Parameter berechnet man mittels der gegebenen Anfangsglieder (in einem lGS)




-----------------------

und das ergibt das bereits von riwe geschriebene Resultat.

mY+
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